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| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen reellen Zahlen a und b für die die folgenden Vektoren kollinear sind.
[mm] \vektor{a \\ a^2 \\ 5a}; \vektor{b \\ b+24 \\ b+48}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Hoffe, dass die Vektoren so dargestellt werden, wie ichs möchte. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Den Ansatz habe ich richtig, das mir mein Mathelehrer auch bereits bestätigte. Er lautet wie folgt:
[mm] \vektor{a \\ a^2 \\ 5a}=r\vektor{b \\ b+24 \\ b+48}
[/mm]
So komme ich dann auf:
a=rb
[mm] a^2=rb+24r
[/mm]
5a=rb+48r
Nur dann weiß ich nicht mehr weiter. Wäre gut, wenn mir einer so schnell wie möglich weiterhelfen könnte. Ich denke Matrixschreibweise ist hier unangebracht.
Danke schonmal im Voraus.
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> So komme ich dann auf:
> a=rb
> [mm] a^2=rb+24r [/mm]
> 5a=rb+48r
du hast 3 Gleichungen und 3 Unbekannte. Am besten setzt du a=rb in die 3. Gleichung ein und löst nach b auf. Dann wiederum in die zweite Gleichung einsetzen für a,b. Dann solltest du dein r finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 17.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Dann solltest du dein r finden.
Naja, so erhält man, wie so ein r aussehen müsste, wenn es denn existiert. Die Frage ist nun: Für welche Zahlen a und b existiert ein solches r, dass das Gleichungssystem löst?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mi 17.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
eine Kleinigkeit vorweg: Auch wenn dir dein Lehrer (auch nur ein Mensch...) schon bestätigt hat, dass dein Ansatz richtig sei, ist er nicht ganz vollständig: Auch für [mm] $\vektor{b\\b+24\\b+48}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] wären die beiden zu untersuchenden Vektoren kollinear. Hier kann dieser Fall gar nicht auftreten. Aber im Allgemeinen würde man ohne Betrachtung dieses Falles Lösungen für a und b übersehen!
Nun aber zum eigentlichen Punkt: Liegt nicht der gerade geschilderte Sonderfall vor, so sind die zu untersuchenden Vektoren genau dann kollinear, wenn eine Zahl r existiert, die das von dir aufgestellte Gleichungssystem löst.
Ich würde daher a und b zunächst als feste Zahlen betrachten und das Gleichungssystem aus drei Gleichungen und einer Unbekannten (nämlich r) lösen.
Wenn du nicht recht weißt wie, könntest du zunächst mal das Gleichungssystem z.B. für $a=5$ und $b=2$ lösen (die 5 und die 2 sind völlig willkürlich gewählt). Hat das Gleichungssystem eine Lösung für r, so sind die zu untersuchenden Vektoren für $a=5$ und $b=2$ kollinear. Hat das Gleichungssystem keine Lösung, so sind sie im Falle $a=5$ und $b=2$ nicht kollinear.
Versuche nun, das Vorgehen auf beliebige a und b zu übertragen. (Vorsicht: Nicht alles lässt sich eins zu eins übertragen.)
Viele Grüße
Tobias
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