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Hi, habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei K = [mm] \{(x,y,z) \in \mathff{R}^{3}: x \ge 0, y \ge 0, 0 \le z \le 2-2x^{2}-2y^{2}\}
[/mm]
Skizzieren sie K und berechnen se das Volumen von K mit Hilfe einer
geeigneten Koordinatentransformation.
Also ich haette so angefangen, einfach die grenzen durch auflösen zu bestimmen.
demnach
=> 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{y^2-1}
[/mm]
=> 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{x^2-1}
[/mm]
=> 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le 2-2x^{2}-2y^{2}
[/mm]
Kommt aber völliger Unfug bei rum.
Ich nehme mal an eine geeignete Koordinatentransformation wären
die Polarkoordinaten.
Aber ich habe echt keine Ahnung wie ich die Aufgabe dann angehen soll.
Bin dankbar fuer jeden Tip...
cu
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Hallo.
Zu den Grenzen fängt man vielleicht mit dem x-Wert an.
Von wo bis wo darf denn x laufen?
Von 0 aus, das ist klar, aber bis wohin maximal?Da [mm] $z\ge [/mm] 0$ sieht man, daß dann x maximal bis 1 laufen darf.
Also haben wir schonmal [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Damit die 3. Gleichung aber weiterhin erfüllt ist, darf y maximal bis [mm] $\sqrt{2-2x^2}$ [/mm] laufen, also haben wir dann [mm] $y\in[0,\sqrt{2-2x^2}]$.
[/mm]
Als drittes können wir dann nahtlos übernehmen: [mm] $z\in[0,2-2x^2-2y^2]$.
[/mm]
Vielleicht kommst Du ja hiermit schon weiter...
Gruß,
Christian
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Hi,
erstmal Danke fuer deine Antwort,
aber wenn ich mit diesen grenzen integriere,
erst nach dx, dann dy, dann dz
liefert das Körperintegral = - [mm] 2*\wurzel{2}*\wurzel{1 - x^2}*(x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 1)
Ich denke aber doch, dass ein Konstanter Wert herauskommen sollte.
Ferner verstehe ich auch nicht, wie du siehst das x [mm] \in[0,1] [/mm] ist.
Danke!
cu
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo trinkMilch!
> aber wenn ich mit diesen grenzen integriere,
> erst nach dx, dann dy, dann dz
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du mußt genau in umgekehrter Reihenfolge integrieren, um Schritt für Schritt die einzelnen Variablen zu eliminieren:
$V \ = \ [mm] \red{\integral_{0}^{1}} [/mm] \ [mm] \blue{\integral_{0}^{\wurzel{2-2x^2}}} [/mm] \ [mm] \green{\integral_{0}^{2-2x^2-2y^2}dz} [/mm] \ [mm] \blue{dy} [/mm] \ [mm] \red{dx}$
[/mm]
Ich habe letztendlich (als Zahlenwert!) erhalten (bitte nachrechnen, ohne Gewähr):
$V \ = \ [mm] \bruch{\pi}{\blue{6}\wurzel{2}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0,37 \ [VE]$
Edit: Ergebnis korrigiert, ich hatte den Faktor [mm] $\blue{\bruch{1}{3}}$ [/mm] vergessen.
> Ferner verstehe ich auch nicht, wie du siehst das x [mm]\in[0,1][/mm] ist.
Dies erhält man durch die Beschränkung [mm] $\blue{0 \ \le} [/mm] \ z \ [mm] \le \blue{2-2x^2-2y^2}$ [/mm] .
Daraus kannst Du umformen: [mm] $\blue{x^2 \ \le \ 1-y^2}$
[/mm]
Der Wert auf der rechten Seite wird maximal für $y \ = \ 0$.
Es gilt also: [mm] $x^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|x| \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \wurzel{1} [/mm] \ = \ 1$
Gemeinsam mit der Bedingung $x \ [mm] \ge\ [/mm] \ 0$ folgt daraus das von Christian genannte Intervall mit $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Gruß
Loddar
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Hi,
erstmal Danke.
erscheint mir nun auch logisch erst nach z, dann nach y und dann nach x
zu integrieren .p
aber eine Frage habe ich noch.
wieso ist y [mm] \in [0,\wurzel{2-2x^2}] [/mm] ???
wieso ist nicht y [mm] \in [0,\wurzel{1-x^{2}}] [/mm] ??
denn wenn ich die ungleichung nach y umforme kommt doch
y [mm] \le \wurzel{1-x^{2}}
[/mm]
Danke schonmal...cu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Do 28.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen trinkMilch!
> erscheint mir nun auch logisch erst nach z, dann nach y und
> dann nach x zu integrieren .
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Fein ...
> wieso ist nicht y [mm]\in [0,\wurzel{1-x^{2}}][/mm] ??
>
> denn wenn ich die ungleichung nach y umforme kommt doch
> y [mm]\le \wurzel{1-x^{2}}[/mm]
Du liegst völlig richtig mit dieser Umformung. Da hatten Christian und ich nicht so ganz aufgepasst ...
Damit ändert sich natürlich auch das vermeintliche Endergebnis, das ich oben angegeben hatte.
Ich erhalte nun: $V \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}$ [/mm] (bitte nachrechnen!).
Gruß
Loddar
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