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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Sa 16.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Sei K=[mm]\IQ (\wurzel{2},\wurzel{3})[/mm]. Man bestimme alle Homomorphismen von K in C. Was ist die Automorphismengruppe von K? |
Hallo,
es wäre super wichtig, wenn mir jemand diese Frage beantworten könnte.
Homomorphismen von [mm]\IQ \wurzel{2}[/mm] sind:
Anzahl der K-Homomorphismen von K(a) ist gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von Minimalpolynom von a über K.
Minimalpolynom ist: x² -2
Nullstellen sind: [mm]\wurzel{2}[/mm] und -[mm]\wurzel{2}[/mm].
Nach dem Hauptlemma der elementaren Körpertheorie gilt:
Sei [mm]\varphi: K->E[/mm] ein Isomorphismus und f= [mm]m_{a,K}=\sum_{j=0}^{n} c_{j}x^{i}[/mm] das Minimalpolynom von a[mm]\in \bat{K}[/mm] über K.
Zu jeder Nullstelle b des Polynoms f*:=[mm]\sum_{j=0}^{n}\varphi (c_j) x^j [/mm] gibt es genau einen Ismorphismus s:K(a)-->E(b) mit s(a)=b, der [mm]\varphi[/mm] fortsetzt.
Nach dem HAuptlemma gibt es zu jeder Nullstelle b von x²-2 einen Isomorphismus von [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] auf [mm]\IQ(b)[/mm], der Wurzel 2 auf b abbildet.
--> die beiden Homomorphismen: [mm]s_1(\wurzel{2})=\wurzel{2}, s_2=-\wurzel{2}[/mm]
Minimalpolynom zu Wurzel 3 über [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm]
x²-3
Es hat die Nullstellen [mm]\wurzel{3},-\wurzel{3}[/mm].
Was sind hier jetzt die Homomorphismen?
und Was ist die Automorphismengruppe?bzw. wie berechne ich die einzelnen Elemente der Automorphismengruppe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 So 17.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Sei K=[mm][mm] \IQ (\wurzel{2},\wurzel{3})[/mm].[/mm] Man bestimme alle Homomorphismen von K in C. Was ist die Automorphismengruppe von K?
Du hast doch alles beieinander. Die Isomorphismen von [mm] \IQ(\wurzel{2}) \to \IC [/mm] hast du schon bestimmt.
Jetzt mußt du noch klären, was das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{3} [/mm] über [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] ist, und dann kannst du nochmal den Fortsetzungssatz anwenden.
Die Ordnung der Automorphismengruppe wirst du dann auch schnell finden. Zu der Ordnung gibt es bis auf Isomorphie nur 2 Gruppen, welche ist die gesuchte?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 17.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
> Du hast doch alles beieinander. Die Isomorphismen von
> [mm]\IQ(\wurzel{2}) \to \IC[/mm] hast du schon bestimmt.
>
> Jetzt mußt du noch klären, was das Minimalpolynom von
> [mm]\wurzel{3}[/mm] über [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] ist, und dann kannst du
> nochmal den Fortsetzungssatz anwenden.
Ich verstehe das mit den Fortsetzungen nicht.
Minimalpolynom ist [mm]x²-\wurzel{3}[/mm]
Die Adjunktion von [mm]\wurzel{3}[/mm] und [mm]-\wurzel{3}[/mm] ergeben gleichen Körper.
Wie berechne ich [mm] s_{i,j}(\wurzel{2})[/mm]
Wie komme ich auf [mm]s_{11}(\wurzel {2})=\wurzel{2}[/mm]
oder [mm] s_{12}(\wurzel 2)=\wurzel{2}[/mm]
[mm] s_{21}(\wurzel 2)=\wurzel{-2}[/mm]
oder [mm] s_{12}(\wurzel 3)=\wurzel{-3}[/mm]
Das wäre super, wenn mir jemand sagen könnte wie ich die berechne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 17.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich verstehe das mit den Fortsetzungen nicht.
> Minimalpolynom ist [mm]x²-\wurzel{3}[/mm]
nein. aber ich denke das ist nur ein tipfehler.
> Die Adjunktion von [mm]\wurzel{3}[/mm] und [mm]-\wurzel{3}[/mm] ergeben
> gleichen Körper.
genau.
> Wie berechne ich [mm]s_{i,j}(\wurzel{2})[/mm]
sei $s: [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \longrightarrow \mathbb{C}$ [/mm] ein körperhomomorphismus und sei $t = [mm] s(\sqrt{2}) \in \mathbb{C}$. [/mm] dann gilt doch [mm] $t^2 [/mm] = [mm] s(\sqrt{2})^2 [/mm] = [mm] s(\sqrt{2}\sqrt{2}) [/mm] = s(2) = 2$ (kannst du die einzelenen schritte begründen?). welche polynomielle gleichung über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] muss dann $t$ erfüllen? welche elemente kommen demnach für $t$ in frage?
> Wie komme ich auf [mm]s_{11}(\wurzel {2})=\wurzel{2}[/mm]
> oder
> [mm]s_{12}(\wurzel 2)=\wurzel{2}[/mm]
> [mm]s_{21}(\wurzel 2)=\wurzel{-2}[/mm]
>
> oder [mm]s_{12}(\wurzel 3)=\wurzel{-3}[/mm]
hier sind wohl einige "$-$" an der falschen stelle gelandet?
grüße
andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:42 So 17.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
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> > Die Adjunktion von [mm]\wurzel{3}[/mm] und [mm]-\wurzel{3}[/mm] ergeben
> > gleichen Körper.
>
> genau.
>
>
> > Wie berechne ich [mm]s_{i,j}(\wurzel{2})[/mm]
>
> sei [mm]s: \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \longrightarrow \mathbb{C}[/mm]
> ein körperhomomorphismus und sei [mm]t = s(\sqrt{2}) \in \mathbb{C}[/mm].
> dann gilt doch [mm]t^2 = s(\sqrt{2})^2 = s(\sqrt{2}\sqrt{2}) = s(2) = 2[/mm]
> (kannst du die einzelenen schritte begründen?). welche
> polynomielle gleichung über [mm]\mathbb{Q}[/mm] muss dann [mm]t[/mm]
> erfüllen? welche elemente kommen demnach für [mm]t[/mm] in frage?
>
>
> > Wie komme ich auf [mm]s_{11}(\wurzel {2})=\wurzel{2}[/mm]
> >
> oder
> > [mm]s_{12}(\wurzel 2)=\wurzel{2}[/mm]
> > [mm]s_{21}(\wurzel 2)=-\wurzel{2}[/mm]
>
> >
> > oder [mm]s_{12}(\wurzel 3)=-\wurzel{3}[/mm]
>
es tut mir leid, aber ich kapiere immer noch nicht, was ich genau berechnen muss. Also wie z.B.
[mm]s_{12}(\wurzel 3)[/mm]=-[mm]\wurzel{3}[/mm] zustande kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Di 19.02.2008 | | Autor: | andreas |
hi
was war dir denn an meiner letzten antwort unklar? lies sie dir bitte nochmal durch und überlege dir, was für elemente infolge dessen für [mm] $s(\sqrt{2})$ [/mm] und [mm] $s(\sqrt{3})$ [/mm] in frage kommen. damit kannst du dann mit dem von dir oben angegeben satz alle möglichen homomorphismen bestimmen.
wenn dir noch was unklar ist, kannst du ja nochmal konkret nachfragen.
grüße
andreas
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