Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Do 14.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Sei [mm] K\subset [/mm] L eine Körpererweiterung mit [mm] a\in [/mm] L ein Element, sodass [K(a):K]=5
Zeigen Sie, dass K(a)=K(a²) |
Gerade mache ich mir gedanken über diese Aufgabe, aber ich kann nicht wirklcih auf eine Lösung kommen.
1. Überlegung: Gradsatz:
[mm] K(a²)\subseteq [/mm] K(a) dann folgt: [K(a):K]=[K(a):K(a²)][K(a²):K]
Da 5 Primzahl ist und [K(a²):K] [mm] \not=1 [/mm] muss [K(a):K(a²)]=1 sein.
2. Überlegung: Minimalpolynom:
Das Mipo von K(a) ist [mm] a_{5}X^5+a_{4}X^4+...+a_{0} [/mm] vielleicht kann man zeigen, dass das auch das Mipo von K(a²) ist.
Ich wäre froh, wenn mir jmd weiterhelfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Do 14.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]K\subset[/mm] L eine Körpererweiterung mit [mm]a\in[/mm] L ein
> Element, sodass [K(a):K]=5
> Zeigen Sie, dass K(a)=K(a²)
> Gerade mache ich mir gedanken über diese Aufgabe, aber
> ich kann nicht wirklcih auf eine Lösung kommen.
>
> 1. Überlegung: Gradsatz:
> [mm]K(a²)\subseteq[/mm] K(a) dann folgt:
> [K(a):K]=[K(a):K(a²)][K(a²):K]
> Da 5 Primzahl ist und [K(a²):K] [mm]\not=1[/mm] muss
> [K(a):K(a²)]=1 sein.
Oder gleich 5. Ansonsten waerst du ja schon fertig.
Du musst jetzt zeigen, dass $[K(a) : [mm] K(a^2)]$ [/mm] nicht 5 sein kann.
> 2. Überlegung: Minimalpolynom:
Sag doch mal etwas ueber das Minimalpolynom von $a$ ueber [mm] $K(a^2)$. [/mm] Gib z.B. irgendein einfaches Polynom mit Koeffizienten in [mm] $K(a^2)$ [/mm] an, welches $a$ als Nullstelle hat.
Damit kannst du etwas ueber $K(a) = [mm] K(a^2)(a)$ [/mm] ueber [mm] $K(a^2)$ [/mm] aussagen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 14.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
> Du musst jetzt zeigen, dass $ [K(a) : [mm] K(a^2)] [/mm] $ nicht 5 sein kann.
Und genau dass wusste ich eben nicht, wie ich es anstelle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Do 14.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Du musst jetzt zeigen, dass [mm][K(a) : K(a^2)][/mm] nicht 5 sein
> > kann.
> Und genau dass wusste ich eben nicht, wie ich es anstelle.
Der Grad ist gleich dem Grad des Minimalpolynoms von $a$ ueber [mm] $K(a^2)$. [/mm] Schau dir dazu das an, was ich unten in der letzten Antwort geschrieben hatte.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Fr 15.04.2011 | | Autor: | xtraxtra |
> Sag doch mal etwas ueber das Minimalpolynom von $ a $ ueber $ [mm] K(a^2) [/mm] $.
> Gib z.B. irgendein einfaches Polynom mit Koeffizienten in $ [mm] K(a^2) [/mm] $ an, Y
> welches $ a $ als Nullstelle hat.
Könntest du mir das bitte an einem Beispiel zeigen, ich komm damit gerade gar nicht zurrecht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 15.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Sag doch mal etwas ueber das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] ueber
> [mm]K(a^2) [/mm].
> > Gib z.B. irgendein einfaches Polynom mit Koeffizienten in
> [mm]K(a^2)[/mm] an, Y
> > welches [mm]a[/mm] als Nullstelle hat.
>
> Könntest du mir das bitte an einem Beispiel zeigen, ich
> komm damit gerade gar nicht zurrecht.
Wenn du etwa das Element $b$ ueber dem Koerper $E$ hast und $F := E((b + [mm] 1)^3)$ [/mm] setzt, dann ist $b$ eine Nullstelle von $f := (T + [mm] 1)^3 [/mm] - (b + [mm] 1)^3 [/mm] = [mm] T^3 [/mm] + 3 [mm] T^2 [/mm] + 3 T + (1 - (b + [mm] 1)^3) \in [/mm] F[T]$.
LG Felix
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