Körpererweiterung/ Grad/ 2 El. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei M [mm] \subset \IC [/mm] der Körper [mm] \IQ (\wurzel{-1},\wurzel[n]{3}) [/mm] . Berechne [ M [mm] :\IQ (\wurzel{-1}) [/mm] ] , [ M : [mm] \IQ [/mm] ] ,[ M : [mm] \IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] ] |
Huhu zusammen!
Also zu a ) habe ich folgende Überlegungen:
Es gilt mit der Gradformel
[ M : [mm] \IQ [/mm] ] = [ M [mm] :\IQ (\wurzel{-1}) [/mm] ] [ [mm] \IQ (\wurzel{-1}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ]
und
[ M : [mm] \IQ [/mm] ] = [ M [mm] :\IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] ] [ [mm] \IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ]
Setze nun [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel{-1} [/mm] , [mm] \beta [/mm] = [mm] \wurzel[n]{3}
[/mm]
Ich denke, dann ist das minimalpolynom gegeben durch
[mm] min_{\IQ(\alpha)} [/mm] = x - [mm] \wurzel{-1} [/mm] mit Grad 1
[mm] min_{\IQ(\beta)} [/mm] = [mm] x^n [/mm] - 3 mit Grad n
Somit gilt:
[ [mm] \IQ (\wurzel{-1}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = 1 , [ [mm] \IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] : [mm] \IQ [/mm] ] = n
Ein einziger Grad mehr würde mir wohl nun reichen. Mir ist Folgendes in den Sinn gekommen:
da M mehr Elemente enthält als [mm] \IQ(\alpha) [/mm] bzw [mm] \IQ(\beta) [/mm] , müsste nicht gelten, dass
[ M [mm] :\IQ (\wurzel{-1}) [/mm] ] [mm] \le [/mm] n und [ M [mm] :\IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] ] [mm] \le [/mm] 1 ?
Dann wäre [ M [mm] :\IQ (\wurzel[n]{3}) [/mm] ] = 1 und damit [ M [mm] :\IQ (\wurzel{-1}) [/mm] ] = n und insgesamt
[ M : [mm] \IQ [/mm] ] = n ^^ aber wahrscheinlich ist das Blödsinn oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 06.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei M [mm]\subset \IC[/mm] der Körper [mm]\IQ (\wurzel{-1},\wurzel[n]{3})[/mm]
> . Berechne [ M [mm]:\IQ (\wurzel{-1})[/mm] ] , [ M : [mm]\IQ[/mm] ] ,[ M :
> [mm]\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm] ]
> Huhu zusammen!
>
> Also zu a ) habe ich folgende Überlegungen:
>
> Es gilt mit der Gradformel
>
> [ M : [mm]\IQ[/mm] ] = [ M [mm]:\IQ (\wurzel{-1})[/mm] ] [ [mm]\IQ (\wurzel{-1})[/mm]
> : [mm]\IQ[/mm] ]
>
> und
>
> [ M : [mm]\IQ[/mm] ] = [ M [mm]:\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm] ] [ [mm]\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm]
> : [mm]\IQ[/mm] ]
O.K.
>
> Setze nun [mm]\alpha[/mm] = [mm]\wurzel{-1}[/mm] , [mm]\beta[/mm] =
> [mm]\wurzel[n]{3}[/mm]
>
>
> Ich denke, dann ist das minimalpolynom gegeben durch
>
> [mm]min_{\IQ(\alpha)}[/mm] = x - [mm]\wurzel{-1}[/mm] mit Grad 1
>
> [mm]min_{\IQ(\beta)}[/mm] = [mm]x^n[/mm] - 3 mit Grad n
Erlaeutere diese Minimalpolynome doch bitte.
>
> Somit gilt:
>
> [ [mm]\IQ (\wurzel{-1})[/mm] : [mm]\IQ[/mm] ] = 1 , [ [mm]\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm] :
> [mm]\IQ[/mm] ] = n
>
>
> Ein einziger Grad mehr würde mir wohl nun reichen. Mir ist
> Folgendes in den Sinn gekommen:
>
> da M mehr Elemente enthält als [mm]\IQ(\alpha)[/mm] bzw [mm]\IQ(\beta)[/mm]
> , müsste nicht gelten, dass
>
> [ M [mm]:\IQ (\wurzel{-1})[/mm] ] [mm]\le[/mm] n und [ M [mm]:\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm]
> ] [mm]\le[/mm] 1 ?
>
> Dann wäre [ M [mm]:\IQ (\wurzel[n]{3})[/mm] ] = 1
Das aber hiesse, dass $M$ gerade nicht mehr Elemente als [mm] $\IQ(\beta)$ [/mm] enthaelt.
und damit [ M
> [mm]:\IQ (\wurzel{-1})[/mm] ] = n und insgesamt
> [ M : [mm]\IQ[/mm] ] = n ^^ aber wahrscheinlich ist das Blödsinn
> oder?
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Hey!
Also die Minimalpolynome kommen so zustande:
Im ersten Fall ist x- [mm] \wurzel{-1} [/mm] Nullstelle von [mm] \wurzel{-1} [/mm] . Dies ist minimalpolynom, da das polynom irreduzibel ist( grad 1)
Im zweiten Fall haben wir in der Vorlesung gesagt, dassfür [mm] \wurzel[n]{p} [/mm] , mit p Primzahl ( hier 3 ) das minimalpolynom [mm] x^n [/mm] - p hat (über [mm] \IQ) [/mm] . Dies hat ja Grad n.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 06.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey!
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> Also die Minimalpolynome kommen so zustande:
>
> Im ersten Fall ist x- [mm]\wurzel{-1}[/mm] Nullstelle von
> [mm]\wurzel{-1}[/mm] . Dies ist minimalpolynom, da das polynom
> irreduzibel ist( grad 1)
>
> Im zweiten Fall haben wir in der Vorlesung gesagt, dassfür
> [mm]\wurzel[n]{p}[/mm] , mit p Primzahl ( hier 3 ) das
> minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p hat (über [mm]\IQ)[/mm]
Eben: ueber [mm] $\IQ$. $x-\sqrt{-1}$ [/mm] ist kein Polynom ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Eine Noch eine Frage zum Verstaendnis: Ist [mm] $\sqrt[n]{3}$ [/mm] eine beliebige komplexe Wurzel oder ist die reelle Wurzel gemeint?
. Dies hat ja Grad
> n.
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> > Hey!
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> > Also die Minimalpolynome kommen so zustande:
> >
> > Im ersten Fall ist x- [mm]\wurzel{-1}[/mm] Nullstelle von
> > [mm]\wurzel{-1}[/mm] . Dies ist minimalpolynom, da das polynom
> > irreduzibel ist( grad 1)
> >
> > Im zweiten Fall haben wir in der Vorlesung gesagt, dassfür
> > [mm]\wurzel[n]{p}[/mm] , mit p Primzahl ( hier 3 ) das
> > minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p hat (über [mm]\IQ)[/mm]
> Eben: ueber [mm]\IQ[/mm]. [mm]x-\sqrt{-1}[/mm] ist kein Polynom ueber [mm]\IQ[/mm].
> Eine Noch eine Frage zum Verstaendnis: Ist [mm]\sqrt[n]{3}[/mm] eine
> beliebige komplexe Wurzel oder ist die reelle Wurzel
> gemeint?
> . Dies hat ja Grad
> > n.
> >
Ich denke es ist die reelle Wurzel gemeint da wir kurz davor das Beispiel eben hatten, dass da dieses minimalpolynom [mm] x^n [/mm] - p ist.
hmm bin ich blöd: Also müsste ich [mm] x^2 [/mm] + 1 nehmen als Minimalpolynom mit Grad 2 oder?
Gilt denn dann trotzdem die Argumentation, dass der Grad von dem einen , was ich vorhin erwähnte, statt [mm] \le [/mm] 1 nun [mm] \le [/mm] 2 sein muss? So eine Argumentation habe ich in einem Buch gefunden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 06.12.2014 | | Autor: | hippias |
> > > Hey!
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> > >
> > > Also die Minimalpolynome kommen so zustande:
> > >
> > > Im ersten Fall ist x- [mm]\wurzel{-1}[/mm] Nullstelle von
> > > [mm]\wurzel{-1}[/mm] . Dies ist minimalpolynom, da das polynom
> > > irreduzibel ist( grad 1)
> > >
> > > Im zweiten Fall haben wir in der Vorlesung gesagt, dassfür
> > > [mm]\wurzel[n]{p}[/mm] , mit p Primzahl ( hier 3 ) das
> > > minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p hat (über [mm]\IQ)[/mm]
> > Eben: ueber [mm]\IQ[/mm]. [mm]x-\sqrt{-1}[/mm] ist kein Polynom ueber
> [mm]\IQ[/mm].
> > Eine Noch eine Frage zum Verstaendnis: Ist [mm]\sqrt[n]{3}[/mm] eine
> > beliebige komplexe Wurzel oder ist die reelle Wurzel
> > gemeint?
> > . Dies hat ja Grad
> > > n.
> > >
> Ich denke es ist die reelle Wurzel gemeint da wir kurz
> davor das Beispiel eben hatten, dass da dieses
> minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p ist.
Das macht das ganze leichter.
>
> hmm bin ich blöd: Also müsste ich [mm]x^2[/mm] + 1 nehmen als
> Minimalpolynom mit Grad 2 oder?
Ja.
>
> Gilt denn dann trotzdem die Argumentation, dass der Grad
> von dem einen , was ich vorhin erwähnte, statt [mm]\le[/mm] 1 nun
> [mm]\le[/mm] 2 sein muss? So eine Argumentation habe ich in einem
> Buch gefunden.
Ich verstehe das Argument nicht ganz, wird aber schon stimmen. Ich denke so: $M= [mm] L[\alpha]$, [/mm] wobei $L:= [mm] \IQ[\beta]\leq \IR$ [/mm] ist und [mm] $\alpha$ [/mm] die imaginaere Einheit. Daraus kannst Du Dir leicht zusammenbasteln, dass [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $L$ den gleichen Grad wie ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat.
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> > > > Hey!
> > > >
> > > >
> > > > Also die Minimalpolynome kommen so zustande:
> > > >
> > > > Im ersten Fall ist x- [mm]\wurzel{-1}[/mm] Nullstelle von
> > > > [mm]\wurzel{-1}[/mm] . Dies ist minimalpolynom, da das polynom
> > > > irreduzibel ist( grad 1)
> > > >
> > > > Im zweiten Fall haben wir in der Vorlesung gesagt, dassfür
> > > > [mm]\wurzel[n]{p}[/mm] , mit p Primzahl ( hier 3 ) das
> > > > minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p hat (über [mm]\IQ)[/mm]
> > > Eben: ueber [mm]\IQ[/mm]. [mm]x-\sqrt{-1}[/mm] ist kein Polynom ueber
> > [mm]\IQ[/mm].
> > > Eine Noch eine Frage zum Verstaendnis: Ist [mm]\sqrt[n]{3}[/mm] eine
> > > beliebige komplexe Wurzel oder ist die reelle Wurzel
> > > gemeint?
> > > . Dies hat ja Grad
> > > > n.
> > > >
> > Ich denke es ist die reelle Wurzel gemeint da wir kurz
> > davor das Beispiel eben hatten, dass da dieses
> > minimalpolynom [mm]x^n[/mm] - p ist.
> Das macht das ganze leichter.
> >
> > hmm bin ich blöd: Also müsste ich [mm]x^2[/mm] + 1 nehmen als
> > Minimalpolynom mit Grad 2 oder?
> Ja.
> >
> > Gilt denn dann trotzdem die Argumentation, dass der Grad
> > von dem einen , was ich vorhin erwähnte, statt [mm]\le[/mm] 1 nun
> > [mm]\le[/mm] 2 sein muss? So eine Argumentation habe ich in einem
> > Buch gefunden.
> Ich verstehe das Argument nicht ganz, wird aber schon
> stimmen. Ich denke so: [mm]M= L[\alpha][/mm], wobei [mm]L:= \IQ[\beta]\leq \IR[/mm]
> ist und [mm]\alpha[/mm] die imaginaere Einheit. Daraus kannst Du Dir
> leicht zusammenbasteln, dass [mm]\alpha[/mm] ueber [mm]L[/mm] den gleichen
> Grad wie ueber [mm]\IQ[/mm] hat.
Hmm ja das macht Sinn mit [mm] \IQ[\beta] \le \IR. [/mm] Vielen lieben Dank! Du hast mir echt sehr geholfen :D
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