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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Mi 06.06.2007 | | Autor: | olhh |
| Aufgabe | Seien p und q Primzahlen mit p <> q. Sei K = [mm] \IQ(\wurzel{p}, \wurzel[3]{q})
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass K = [mm] \IQ(\wurzel{p} \wurzel[3]{q}) [/mm] gilt
b) Zeigen Sie, dass [K : [mm] \IQ [/mm] ] = 6 |
Hallo zusammen,
leider komme ich hier gar nicht weiter. Ist der Ansatz, dass ich zunächst zeigen muss, dass [mm] \wurzel{p} \wurzel[3]{q} [/mm] ein Körper ist? Aber wie bilde ich da das 0 und 1-Element?
Wäre dankbar für einen kleinen Tipp!
Viele Grüße
OLHH
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Do 07.06.2007 | | Autor: | unknown |
Moin,
dass [mm] $\IQ(\sqrt{p}\sqrt[3]{q})$ [/mm] ein Körper ist, gilt einfach nach Definition. [mm] ($\IQ(\alpha)$ [/mm] ist normalerweise definiert als der kleinste Körper der [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\alpha$ [/mm] enthält). Das brauchst Du also wohl nicht mehr zu zeigen. Eins- und Nullelement sind übrigens einfach die Eins und die Null aus [mm] $\IQ$.
[/mm]
Zu den Aufgaben: Bei (a) sollte es nicht so schwierig sein, [mm] $\IQ(\sqrt{p}\sqrt[3]{q}) \subseteq [/mm] K$ einzusehen. (Aus welchen Elementen besteht [mm] $\IQ(\sqrt{p}\sqrt[3]{q})$ [/mm] denn?). Für die andere Richtung musst Du zeigen, dass [mm] $\sqrt{p} \in \IQ(\sqrt{p}\sqrt[3]{q})$ [/mm] und [mm] $\sqrt[3]{q} \in \IQ(\sqrt{p}\sqrt[3]{q})$ [/mm] gelten. (Guck doch mal die Potenzen von [mm] $\sqrt{p}\sqrt[3]{q}$ [/mm] an).
Bei (b) würde ich die Gradformel benutzen und die Teilerfremdheit von $2$ und $3$.
Hoffe, das hilft.
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