Körpererweiterung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 21.02.2005 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich hab da folgende Aufgabe.
Ist [mm] \IQ( \wurzel{2}): \IQ [/mm] normal, separabel, galoissche Körpererweiterung?
Dazu hatten wir folgende Lösung bekommen.
Normal: ja, da Körpergrad 2
Separabel: ja da [mm] \IQ [/mm] die Charakteristik 0 hat.
Galoisch: ja, da normal und separabel.
Nun versteh ich nicht, warum beim Körpergrad 2 die Körpererweiterung normal ist und warum separabel bei der Charakteristik 0.
Kann mir da bitte jemand weiterhelfen.
cloe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mo 21.02.2005 | | Autor: | manil |
Hallo Cloe.
Also, eine Erweiterung [mm]L:K[/mm] heißt bekanntlich normal, wenn sie algebraisch ist und jedes irreduzible Polynom aus [mm]K[\tau][/mm] in L vollständig zerfällt.
Ist nun [mm][L:K] < \infty[/mm] so sind äquivalent:
i) [mm]L:K[/mm] ist normal
ii) [mm]L:K[/mm] ist Zerfällungskörper eines Polynoms[mm] f \in K[\tau][/mm]
(Beweis siehe z.B. Meyberg II S. 46)
Eine Erweiterung [mm]L:K[/mm] heißt separabel, wenn jedes Element aus L über K separabel ist, d.h. Wurzel eines separablen Polynoms ist, d.h.wenn von diesem Polynom jeder irreduzible Faktor nur einfache Wurzeln hat.
Nun hat ein irreduzibles Polynom [mm]f \in K[\tau] [/mm] genau dann mehrfache Wurzeln (ist also nicht separabel), wenn für die algebraische Ableitung gilt: [mm]f'=0[/mm]
Die Ableitung eines Polynoms [mm]f \in K[\tau]\setminus K[/mm] aus einem Körper der Chrakteristik 0 ist aber immer [mm]\not= 0[/mm] . Also ist hier jedes Polynom separabel (solche Körper heißen vollkommen).
Ich hoffe, es ist alles klar.
Das irreduzible Polynom hier ist übrigens klar: [mm]f(\tau)=\tau^2-2[/mm]
Grüße
manil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Vielleicht ist dir ja beim ersten Teil nicht klar, warum bei einer Körpererweiterung $L:K$ vom Grad 2 automatisch $L$ der Zerfällungskörper von $K$ ist. Dies ist aber nicht schwierig: Ist nämlich [mm] $\{1,\alpha\}$ [/mm] eine Basis von $L$ über $K$ und $f$ das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$, [/mm] dann liegt auch die andere Nullstelle von $f$ in $L$. (Dies gilt immer für quadratische Polynome: Liegt eine der beiden Nullstellen in einem gewissen Körper, dann auch die andere. Ist dir das klar?)
Viele Grüße
Julius
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