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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Di 24.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
| Aufgabe | a:= [mm] (2+\wurzel{2})(3+\wurzel{6})
[/mm]
zz.: [mm] \IQ(a)=\IQ(\wurzel{3},\wurzel{2}) [/mm] |
Guten Abend!
Ich versuche gerade obige Gleichheit zu beweisen und komm nicht weiter.
[mm] "\supset" [/mm] ist klar
Mit [mm] "\subset" [/mm] kommm ich jedoch einfach nicht weiter.
Es ist
[mm] a=(2+\wurzel{2})(3+\wurzel{6})=6+3\wurzel{2}+2\wurzel{6} [/mm] + [mm] 4\wurzel{3}
[/mm]
Außerdem
[mm] a^2 [/mm] = [mm] 90+60\wurzel{2}+36\wurzel{6}+48\wurzel{3}
[/mm]
[mm] a^3=12(10+21\wurzel{2}+55\wurzel{6}+11\wurzel{3})
[/mm]
Meine Hoffnung war, nun die Wurzeln durch addieren und subtrahieren der Potenzen von a darstellen zu können.
Also z.B. [mm] \wurzel{2}=x*a+y*a^2+z*a^3
[/mm]
Das geht aber leider nicht.
Sieht jemand von euch, wie ich es stattdessen zeigen kann?
Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar :)
Grüße,
Fips
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 25.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> a:= [mm](2+\wurzel{2})(3+\wurzel{6})[/mm]
>
> zz.: [mm]\IQ(a)=\IQ(\wurzel{3},\wurzel{2})[/mm]
> Ich versuche gerade obige Gleichheit zu beweisen und komm
> nicht weiter.
>
> [mm]"\supset"[/mm] ist klar
So herum ist es glaubich gerade nicht klar.
> Mit [mm]"\subset"[/mm] kommm ich jedoch einfach nicht weiter.
> Es ist
> [mm]a=(2+\wurzel{2})(3+\wurzel{6})=6+3\wurzel{2}+2\wurzel{6}[/mm] +
> [mm]4\wurzel{3}[/mm]
Das muß wohl [mm]a=(2+\wurzel{2})(3+\wurzel{6})=6+3\wurzel{2}+2\wurzel{6}[/mm] + [mm]2\wurzel{3}[/mm] heißen.
Wenn du das umsortierst
a - 6 - [mm] 3\wurzel{2} [/mm] = [mm] 2\wurzel{3}(\wurzel{2} [/mm] + 1)
dann quadrierst
und nach [mm] \wurzel{2} [/mm] umstellst, müßtest du finden, daß [mm] \wurzel{2} \in \IQ(a),
[/mm]
und so ähnlich geht das hoffentlich auch mit [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Danke!
Zuerst zu [mm] "\subseteq":
[/mm]
[mm] K:=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] Körper, also auch abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation der Elemente, also auch a [mm] \in [/mm] K
Oder etwa nicht?
Zu [mm] "\supseteq" [/mm] hab ich auch noch einen Lösungsweg gefunden:
a [mm] \in [/mm] K => [mm] \IQ(a) \Subset [/mm] K und [mm] [K:\IQ]=4
[/mm]
Also [mm] [K:\IQ(a)]=1 [/mm] oder 2
Ann.: [mm] [K:\IQ(a)]=2 \Rightarrow [\IQ(a):\IQ]=2
[/mm]
Dann gibt es ein Polynom f [mm] \in \IQ[X] [/mm] mit grd(f)=2 und f(a)=0 (Minimalpolynom), dh. [mm] f=X^2+cX+b [/mm] (c,b [mm] \in \IQ)
[/mm]
[mm] f(a)=90+60\wurzel{2}+36\wurzel{6}+48\wurzel{3} [/mm] + [mm] c(6+3\wurzel{2}+2\wurzel{6})+b [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \wurzel{2}(60+3c)+\wurzel{3}(48+2c)+\wurzel{6}(36+2c) \in \IQ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch !!
=> [mm] [K:\IQ(a)]=1, [/mm] also [mm] K=\IQ(a)
[/mm]
Müsste auch gehen, oder?
Danke und einen schönen Tag!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 25.06.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Zuerst zu [mm]"\subseteq":[/mm]
>
> [mm]K:=\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})[/mm] Körper, also auch
> abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation der
> Elemente, also auch a [mm]\in[/mm] K
>
> Oder etwa nicht?
Doch!
> Zu [mm]"\supseteq"[/mm] hab ich auch noch einen Lösungsweg
> gefunden:
>
>
> a [mm]\in[/mm] K => [mm]\IQ(a) \Subset[/mm] K und [mm][K:\IQ]=4[/mm]
>
> Also [mm][K:\IQ(a)]=1[/mm] oder 2
>
> Ann.: [mm][K:\IQ(a)]=2 \Rightarrow [\IQ(a):\IQ]=2[/mm]
> Dann gibt es
> ein Polynom f [mm]\in \IQ[X][/mm] mit grd(f)=2 und f(a)=0
> (Minimalpolynom), dh. [mm]f=X^2+cX+b[/mm] (c,b [mm]\in \IQ)[/mm]
>
> [mm]f(a)=90+60\wurzel{2}+36\wurzel{6}+48\wurzel{3}[/mm] +
> [mm]c(6+3\wurzel{2}+2\wurzel{6})+b[/mm] =0
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{2}(60+3c)+\wurzel{3}(48+2c)+\wurzel{6}(36+2c) \in \IQ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch !!
Warum? Das stimmt zwar, müßte aber genau begründet werden. Wenn 3 Zahlen nicht in [mm] \IQ [/mm] liegen, kann eine Summe mit Koeffizienten in [mm] \IZ [/mm] trotzdem in [mm] \IQ [/mm] liegen. Dann landest du wieder bei der Rechnerei.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 26.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Okay, da hast du recht. Dein Weg ist sicherlich der schnellere! Danke!
Ich hab noch eine weitere Frage, es wär natürlich super, wenn du mir da auch weiterhelfen könntest 
Ich hab jetzt die Galoisgruppe berechnet:
[mm] G:=Gal(\IQ(a)|\IQ) [/mm] = {id, [mm] \phi_q, \phi_2, \phi_3 [/mm] } [mm] \cong \IZ_{2}\times \IZ_{2}.
[/mm]
[mm] (\phi_1: \wurzel{2}\to -\wurzel{2}, \wurzel{3} \to \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \phi_2: \wurzel{2} \to \wurzel{2}, \wurzel{3} \to -\wurzel{3}
[/mm]
[mm] \phi_3: \wurzel{2}\to [/mm] - [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3}\to -\wurzel{3})
[/mm]
zz. Jedes [mm] \phi \in [/mm] G lässt sich zu einem Automorphismus [mm] \tau [/mm] des Körpers [mm] L=\IQ(\wurzel(a)) [/mm] fortsetzen.
Meine Idee war zu zeigen, dass L eine einfache Erweiterung von [mm] \IQ(a) [/mm] ist, aber das ist mir nicht gelungen. Vermute deshalb sehr stark, dass das auch falsch war.
Kannst du mir einen Hinweis geben, was ich machen könnte?
Einen schönen Abend!
Fips
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Fr 27.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich hab noch eine weitere Frage, es wär natürlich super,
> wenn du mir da auch weiterhelfen könntest
>
> Ich hab jetzt die Galoisgruppe berechnet:
> [mm]G:=Gal(\IQ(a)|\IQ)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {id, [mm]\phi_1, \phi_2, \phi_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cong \IZ_{2}\times \IZ_{2}.[/mm]
>
> [mm](\phi_1: \wurzel{2}\to -\wurzel{2}, \wurzel{3} \to \wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]\phi_2: \wurzel{2} \to \wurzel{2}, \wurzel{3} \to -\wurzel{3}[/mm]
>
> [mm]\phi_3: \wurzel{2}\to[/mm] - [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3}\to -\wurzel{3})[/mm]
>
>
> zz. Jedes [mm]\phi \in[/mm] G lässt sich zu einem Automorphismus
> [mm]\tau[/mm] des Körpers [mm]L=\IQ(\wurzel(a))[/mm] fortsetzen.
>
> Meine Idee war zu zeigen, dass L eine einfache Erweiterung
> von [mm]\IQ(a)[/mm] ist, aber das ist mir nicht gelungen. Vermute
> deshalb sehr stark, dass das auch falsch war.
Natürlich ist L eine einfache Erweiterung von [mm] \IQ(a). [/mm] Erstens gibt es da einen allgemeinen Satz (vom primitiven Element), und zweitens sieht man das hier mit bloßem Auge: L wird von dem einen Element [mm] \wurzel{a} [/mm] erzeugt, steht doch da!
> Kannst du mir einen Hinweis geben, was ich machen könnte?
"Sie müssen immer ganz genau hinschauen." (Loriot).
Schönen Tag noch
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 27.06.2008 | | Autor: | Fips12 |
Hallo!
Sorry, für die Frage. Sie war schlecht gestellt und auch nicht wirklich sinnvoll.
Mir war klar, dass [mm] \IQ(\wurzel(a))=\IQ(a,\wurzel(a)). [/mm] Ich wollte es jedoch als einfache Erweiterung von [mm] \IQ(a) [/mm] ohne [mm] \wurzel(a) [/mm] darstellen, was nicht geht und was man ja auch gar nicht braucht....
Ich hatte nicht bedacht, dass man beim Fortsetzungssatz ja [mm] f^\phi [/mm] betrachtet und dass das hier ja mein a beeinflusst.
Konkret:
Wenn ich nun L:= [mm] \IQ(\wurzel(a)) [/mm] betrachte mit [mm] =X^2-a [/mm] = [mm] m_K,\wurzel(a) [/mm] und [mm] \phi_3: \IQ(a)-> [/mm] L: [mm] \begin{cases} x\to -x, & \mbox{für } x \in \IQ(\wurzel(3))\backslash \IQ \mbox{} \\ x\to x, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Und [mm] f^\phi_3=X^2-a^\phi_3=x^2-(\wurzel(a)(\wurzel(2)-1))^2
[/mm]
Also die folgenden Nullstellen [mm] \pm(\wurzel(a)(\wurzel(2)-1)) \in [/mm] L
Nach dem FSS gibt es dann genau zwei Fortsetzungen [mm] \tau_1, \tau_2.
[/mm]
Die werd ich jetzt noch bestimmen und dann müsste es ja bald geschafft sein
Als Tipp zu der Aufgabe war gegeben, dass [mm] o(\tau_i)=4. [/mm] Egal wie ich es drehe und wende, bei mir haben die Automorphismen nicht Ordnung 4. Könntest du mir sagen, wo ich diesmal nicht genau genug hingesehen habe?
Danke für deine Hilfe!
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