Körpererweiter., Restklassenr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Sa 29.11.2008 | | Autor: | cantor |
Hallo,
ich versuche grade zum ersten mal das Kapitel Körpererweiterungen in meinem Algebra Skript durchzugehen und habe schon auf den ersten Seiten Schwierigkeiten. Zum Beispiel steht dort
[mm] $\IQ[\wurzel{2}] [/mm] = [mm] \{ a + b\wurzel{2} | a, b \in \IQ \} [/mm] = [mm] \IQ[x] [/mm] / [mm] (x^2-2) [/mm] $
Wahrscheinlich ist das trivial, aber kann mir irgendjemand ein paar Erläuterungen geben warum das gleich ist. Grundsätzlich ist mir auch nicht klar, was [mm] $\IQ[x] [/mm] / [mm] (x^2-2)$ [/mm] sein soll. Das ist doch ein Restklassenring, demnach müsste [mm] $x^2+2$ [/mm] ein Ideal sein, das ist doch nur ein "Punkt"...
Vielen Dank für irgendwelche Hinweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
weiß nicht, ob dir das hilft, aber allgemein gilt: [mm] K[a]\cong [/mm] K[X]/(f),
wobei f das MiPo von a über K. Das kann mit dem Homomorphiesatz für Ringe und Ideale beweisen. Kennst du den ?
In diesem Fall ist halt [mm] X^2-2 [/mm] das MiPo von [mm] \wurzel{2} [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
Desweiteren ist mit (f) nicht ein einziges Polynom gemeint, sondern eine Menge von Polynomen, ein Ideal gemeint.
[mm] z.B.(X^2-2) [/mm] = [mm] \{g*(X^2 -2), g\in \IQ[X]\}
[/mm]
das Ideal enthält also alle möglichen Produkte aus dem Polynom [mm] X^2-2 [/mm] und irgendeinem anderen Polynom aus [mm] \IQ[X].
[/mm]
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 So 30.11.2008 | | Autor: | cantor |
aha, sehr gut. jetzt komm ich wieder weiter, danke!
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