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| Aufgabe | Es sei K eine Menge mit Verknüpfungen "+" und "*" (d. h. je zwei Elementen a, b [mm] \in [/mm] K werde die Summe a + b [mm] \in [/mm] K und das Produkt a * b [mm] \in [/mm] K zugeordnet) und L eine Teilmenge von K, für die gelte, dass aus a, b [mm] \in [/mm] L auch a + b [mm] \in [/mm] L und a * b [mm] \in [/mm] L folgt. Wir betrachten nun auch L mit den Verknüfpungen "+" und "*".
a) gilt das Körperaxiom A7 in K, so gilt es auch in L -----> wahr oder falsch? |
Körperaxiom A7:
Es [mm] \exists [/mm] 1 [mm] \in \IR, [/mm] 1 [mm] \not= [/mm] 0 mit 1 * x = x für alle x [mm] \in \IR [/mm] (Existenz der Eins)
Hallo Leute,
ich soll also A7 in K beweisen um folgern zu dürfen das es auch in L gilt.
Wie? :)
Das einzige was ich über K weiss ist:
a+b [mm] \in [/mm] K und a*b [mm] \in [/mm] K
Wie zeige ich die existenz der Eins?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei K eine Menge mit Verknüpfungen "+" und "*" (d. h.
> je zwei Elementen a, b [mm]\in[/mm] K werde die Summe a + b [mm]\in[/mm] K
> und das Produkt a * b [mm]\in[/mm] K zugeordnet) und L eine
> Teilmenge von K, für die gelte, dass aus a, b [mm]\in[/mm] L auch a
> + b [mm]\in[/mm] L und a * b [mm]\in[/mm] L folgt. Wir betrachten nun auch L
> mit den Verknüfpungen "+" und "*".
>
> a) gilt das Körperaxiom A7 in K, so gilt es auch in L
> -----> wahr oder falsch?
> Körperaxiom A7:
>
> Es [mm]\exists[/mm] 1 [mm]\in \IR,[/mm] 1 [mm]\not=[/mm] 0 mit 1 * x = x für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] (Existenz der Eins)
>
>
> Hallo Leute,
>
> ich soll also A7 in K beweisen um folgern zu dürfen das es
> auch in L gilt.
Nein das sollst Du nicht. (A 7) ist ein Axiom ! Ist Dir klar, was das bedeutet ?
Nimm mal K = [mm] \IR [/mm] und L = {0}.
In K gilt (A 7). Wie siehts in L aus ?
FRED
>
> Wie? :)
>
> Das einzige was ich über K weiss ist:
>
> a+b [mm]\in[/mm] K und a*b [mm]\in[/mm] K
>
> Wie zeige ich die existenz der Eins?
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Hi Fred,
danke für die schnelle Antwort.
K = [mm] \IR [/mm] und L = {0}
Beh:
1 [mm] \in [/mm] L wie in A7
Bew:
1 * x = x laut A7
dann ist 1 * 0 = 0, wobei 0 [mm] \in [/mm] L ist
das beweißt aber nicht die Existenz der 1.
1 + 0 = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \not\in [/mm] L [mm] \Rightarrow [/mm] gilt nicht in L, richtig?
Die verknüfung der Addition gilt nicht für L in diesem Spezialfall?!
Wobei ich mich Frage:
woher nehme ich die 1 bei der Gleichung 1 + 0 = 1, darf ich die mir einfach "aus dem Ärmel ziehen"?
Was mache ich ausserdem wenn nun L beliebig ist mit a,b [mm] \in [/mm] L?
Wenn nun K eine unbestimmte Menge mit je zwei Elementen a, b [mm] \in [/mm] K ist und L eine Teilmenge aus K, so kann man nicht davon ausgehen das L = K, was nicht auszuschliessen wäre, wir aber nicht wissen; daher kann ich nicht folgern das A7 in L gilt, nur dann, wenn A7 in K gilt, umgekehrt wäre es möglich....
Wie drücke ich das jetzt aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Es soll doch 1 [mm] \not= [/mm] 0 sein. somit 1 [mm] \notin [/mm] L
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 29.10.2009 | | Autor: | mathlooser |
oh,
ok... danke!!
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Ich hab doch noch ne Frage:
1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \not\in [/mm] L.
Wie zeige ich das für die Addition?
1 + 0 = 1 wobei laut A7 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \not\in [/mm] L ?
Und L ist unbestimmt wie kann ich es allgemein zeigen?
Bitte ein wenig auführlicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Do 29.10.2009 | | Autor: | iks |
Hallo mathlooser!
> Ich hab doch noch ne Frage:
>
> 1 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\not\in[/mm] L.
>
> Wie zeige ich das für die Addition?
>
> 1 + 0 = 1 wobei laut A7 1 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\not\in[/mm] L
> ?
>
> Und L ist unbestimmt wie kann ich es allgemein zeigen?
>
> Bitte ein wenig auführlicher...
Um zu zeigen, dass eine Behauptung falsch ist, reicht die Angabe eines (konkreten) Gegenbeispiels. Nehmen wir [mm] $K=\IR$ [/mm] und [mm] $L:=\{0\}$ [/mm] und sagen dem FRED herzlichen Dank.
Was nun noch zu erledigen ist:
a) zeige das für [mm] $a,b\in [/mm] L: [mm] (a+b)\in [/mm] L$ gilt. Das $L$ nur ein Element enthält, ist nicht schlimm, da $a=b$ auch zulässig ist.
b) zeige das für [mm] $a,b\in [/mm] L: [mm] (a*b)\in [/mm] L$ ist.
Somit erfüllt $L$ die Voraussetzungen deiner Aussage. Das Neutrale Element eines Körpers bzgl * (und auch +) ist eindeutig bestimmt und für [mm] $\IR$ [/mm] ist das [mm] $1_{\IR}=1$ [/mm] Ist nun [mm] $1_{\IR}\in [/mm] L$??
mFg iks
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Hallo iks,
danke für deine Antwort.
Ich nehme an das 1 kein element aus L ist da L ja nur ein einziges element besitzt und zwar die 0.
Ich verstehe für den Körper gilt das Axiom aber nur weil es für den Körper gilt heisst es nicht das es auch für die Teilmenge gelten muss, das Gegenbeispiel zur Behauptun wäre L := {0}, genau für diesen fall gilt das Axiom nicht;
Was ich nicht nachvollziehen kann, an welchem Punkt genau es scheitert.
Ist es die Tatsache das L kein Einselement enthält und die Eins dadurch nicht verwendet werden darf, oder darf das Ergebnis keine Eins werden?
scheitert es schon Hier weil Links keine 1 verwendet werden darf,
0 * 1 = 0 [mm] \in [/mm] L [mm] \rightarrow [/mm] a*b [mm] \in [/mm] L
oder hier
0 + 1 = 1 [mm] \not\in [/mm] L
weils das Ergebnis nicht in L ist.
Sorry das ich das so in die Länge ziehe.
Gruss
looser
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 29.10.2009 | | Autor: | iks |
> Hallo iks,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Ich nehme an das 1 kein element aus L ist da L ja nur ein
> einziges element besitzt und zwar die 0.
>
Jo!
> Ich verstehe für den Körper gilt das Axiom aber nur weil
> es für den Körper gilt heisst es nicht das es auch für
> die Teilmenge gelten muss,
Ja
das Gegenbeispiel zur Behauptung
> wäre L := {0}, genau für diesen fall gilt das Axiom
> nicht;
>
Jein! Das Wort "genau" stört mich in dieser Aussage, da es noch weitere Beispiele [mm] $L\subset\IR$ [/mm] gibt, so dass $L$ bzgl $+ und *$ abgeschlossen ist und die [mm] $1_{\IR}$ [/mm] nicht enthalten. Kannst du noch welche angeben??
Besser formuliert wäre für [mm] $K=\IR$ [/mm] und [mm] $L:=\{0\}$ [/mm] stimmt die Behauptung nicht.
> Was ich nicht nachvollziehen kann, an welchem Punkt genau
> es scheitert.
>
> Ist es die Tatsache das L kein Einselement enthält und die
> Eins dadurch nicht verwendet werden darf, oder darf das
> Ergebnis keine Eins werden?
>
> scheitert es schon Hier weil Links keine 1 verwendet werden
> darf,
>
> 0 * 1 = 0 [mm]\in[/mm] L [mm]\rightarrow[/mm] a*b [mm]\in[/mm] L
>
> oder hier
>
> 0 + 1 = 1 [mm]\not\in[/mm] L
>
> weils das Ergebnis nicht in L ist.
>
1)
Gibt es ein Element [mm] $0_L$ [/mm] in $L$, so dass [mm] $a+0_L=a$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] L$ gilt
Ja: [mm] $0_L=0$ [/mm] leistet dies.
Gibt es ein Element [mm] $1_L$ [/mm] in $L$, so dass [mm] $a*1_L=a$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] L$ gilt?
Ja: [mm] $1_L=0$ [/mm] leistet dies.
Dann ist aber [mm] $0_L=0=1_L$ [/mm] die Aussage ist also falsch.
Es scheitert also daran das die beiden "neutralen Elemente" in $L$ gleich sind.
mFg iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 29.10.2009 | | Autor: | mathlooser |
Juhuu, super!!!
VIELEN DANK DIR!
SEHR gut erklärt!!!
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