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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Ersty |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Hi, ich frage mich gerade, ob folgendes gilt:
Jeder Körper L, der K als Teilkörper enthält, ist ein Vektorraum über K.
Das würde bedeuten, dass [mm] \IC [/mm] sowohl ein [mm] \IR [/mm] - als auch ein [mm] \IQ [/mm] - VR ist.
Stimmt das?
Dann wäre [mm] \IR [/mm] auch ein [mm] \IQ [/mm] -VR, richtig?
Es geht dann aber nicht andersrum:
[mm] \IR [/mm] als [mm] \IC [/mm] -VR ist keiner, da die Skalaren aus [mm] \IC [/mm] kommen und das Produkt nicht in [mm] \IR [/mm] liegt, richtig?
[mm] \IQ [/mm] als [mm] \IR [/mm] -VR geht auch nicht, da z.B. [mm] \wurzel{2} [/mm] mal "irgendwas" auch kein Element aus [mm] \IQ [/mm] geben würde.
Das würde für mich Sinn ergeben, oder habe ich einen Denkfehler drinne?
Wenn das alles gilt, kann ich immer sagen: Der Körper der einen Teilkörper enthält ist ein VR über dem Teilkörper, aber der Teilkörper ist kein VR über dem Körper, richtig?
Ich bedanke mich jetzt schon und wünsche euch einen schönen Abend!
MFG Ersty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Ersty!
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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> Hi, ich frage mich gerade, ob folgendes gilt:
>
> Jeder Körper L, der K als Teilkörper enthält, ist ein
> Vektorraum über K.
>
> Das würde bedeuten, dass [mm]\IC[/mm] sowohl ein [mm]\IR[/mm] - als auch ein
> [mm]\IQ[/mm] - VR ist.
> Stimmt das?
Ja.
> Dann wäre [mm]\IR[/mm] auch ein [mm]\IQ[/mm] -VR, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es geht dann aber nicht andersrum:
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> [mm]\IR[/mm] als [mm]\IC[/mm] -VR ist keiner, da die Skalaren aus [mm]\IC[/mm] kommen
> und das Produkt nicht in [mm]\IR[/mm] liegt, richtig?
>
> [mm]\IQ[/mm] als [mm]\IR[/mm] -VR geht auch nicht, da z.B. [mm]\wurzel{2}[/mm] mal
> "irgendwas" auch kein Element aus [mm]\IQ[/mm] geben würde.
Genau.
(Zumindest geht es nicht "kanonisch", also unter Beibehaltung der bereits existierenden Operationen. Z.B. gibt es eine Bijektion [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IC \to \IR$, [/mm] mit der du [mm] $\IR$ [/mm] mit zwei Operationen [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] ausstatten kannst, so dass [mm] $(\IR, \oplus, \odot)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IC, [/mm] +, [mm] \cdot)$ [/mm] ist; damit ist es via dieser Bijektion auch ein [mm] $\IC$-Vektorraum. [/mm] Aber [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\odot$ [/mm] sind ebenso wie [mm] $\varphi$ [/mm] sehr unschoen, haben vor allem nichts mehr mit $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] zu tun, weswegen man sowas nicht tut  )
> Das würde für mich Sinn ergeben, oder habe ich einen
> Denkfehler drinne?
Du hast keinen Denkfehler.
> Wenn das alles gilt, kann ich immer sagen: Der Körper der
> einen Teilkörper enthält ist ein VR über dem
> Teilkörper, aber der Teilkörper ist kein VR über dem
> Körper, richtig?
Im Allgemeinen ja. (Der Koerper kann natuerlich gleich dem Teilkoerper sein, dann ist der Teilkoerper ein VR ueber dem Koerper.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 So 10.10.2010 | | Autor: | Ersty |
Vielen Dank!
MFG Ersty
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