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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Mo 30.07.2007 | | Autor: | RedHead |
| Aufgabe | Betrachten Sie den Körper [mm] \IF_{16} [/mm] mit 16 Elementen. Dieser kann mit Hilfe des Polynoms
f(X) = 1+X +X4 konstruiert werden. m = [mm] f(X)\IZ_{2}[X] [/mm] ist also ein maximales Ideal.
(a) Berechnen Sie das multiplikative Inversen von 1 + X3 + m [mm] \in \IF_{16}.
[/mm]
(b) Berechnen Sie für jeden Teiler d [mm] \in [/mm] N von [mm] ord(\IF_{16}*, [/mm] ·) die Menge:
[mm] A_{d} [/mm] = {a [mm] \in \IF_{16}6 [/mm] : [mm] ord(\IF_{16},·)a [/mm] = d}
(c) Bestimmen Sie ein Polynom mit dessen Hilfe man den Körper [mm] \IF_{27} [/mm] mit 27 Elementen kostruieren kann. |
Also, ich habe Grundsätzliche schwierigkeiten mit der Fragestellung. Um genau zu sein hab ich keine Ahnung was von mir verlangt wird:-(
Ausserdem weis ich auch nicht genau was ein Ideal ist.
Ich weiß das ist vielleicht ein bisschen umfangreich, aber vielleicht kann mir trotzdem jemand helfen und mir das Thema mal so erklären das ich das verstehe. Ich hab es schon mit diversen Mathebüchern versucht aber aus diesem "kryptischen" schrieben werd ich nicht wirklich schlau :-(
Also ich hab nochmal weiter gelesen und mir ist glaub ich so langsam ein bisschen was klar geworden zum Thema Ideal:
Seh ich das richtig das Ideale im wesentlichen eigentlich nur diejenigen Elemente einer Menge sind dessen viellfache teiler der Elemente sind...anders formuliert: mit diesen elementen kann man die übrigen elemente der Menge "erzeugen"
z.B.
[mm] \IZ_{27} [/mm] hat als ideale {0, 1, 3, 9} ....??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bei dieser Konstruktion sind die Elemente von [mm]\mathbb{F}_{16}[/mm] Polynome über [mm]\mathbb{Z}_2[/mm] modulo [mm]x^4 + x + 1[/mm]. Die Koeffizienten der Polynome sind also nur 0 oder 1 (die Elemente von [mm]\mathbb{Z}_2[/mm]). Es genügt, Polynome von einem Grad <4 zu betrachten, da sich Polynome von höherem Grad modulo [mm]x^4 + x + 1[/mm] reduzieren lassen (die reduzierte Form erhält man, indem man Polynomdivision durch [mm]x^4 + x + 1[/mm] durchführt; das dabei auftretende Restpolynom ist das gesuchte reduzierte Polynom). Ich schreibe die 16 Elemente einmal vollständig hin:
konstant:
[mm]0 + \mathfrak{m}[/mm] (Nullelement), [mm]1 + \mathfrak{m}[/mm] (Einselement)
Grad 1:
[mm]x + \mathfrak{m}, \ x + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Grad 2:
[mm]x^2 + \mathfrak{m}, \ x^2 + 1 + \mathfrak{m}, \ x^2 + x + \mathfrak{m}, \ x^2 + x + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Grad 3:
[mm]x^3 + \mathfrak{m}, \ x^3 + 1 + \mathfrak{m}, \ x^3 + x + \mathfrak{m}, \ x^3 + x + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
[mm]x^3 + x^2 + \mathfrak{m}, \ x^3 + x^2 + 1 + \mathfrak{m}, \ x^3 + x^2 + x + \mathfrak{m}, \ x^3 + x^2 + x + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Mit diesen Elementen kannst du wie üblich rechnen. Beim Multiplizieren rechne distributiv und drücke anschließend den Grad unter 4. Ein Beispiel:
[mm]\left( x^2 + x + 1 + \mathfrak{m} \right) \cdot \left( x^3 + x^2 + 1 + \mathfrak{m} \right)[/mm]
[mm]= \left( x^2 + x + 1 \right) \cdot \left( x^3 + x^2 + 1 \right) + \mathfrak{m}[/mm]
[mm]= x^5 + x^4 + x^2 + x^4 + x^3 + x + x^3 + x^2 + 1 + \mathfrak{m}[/mm] (beachte: [mm]1+1=0[/mm])
(*) [mm]= x^5 + x + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Das ist schon das Ergebnis der Rechnung, nur hat es noch nicht die optimale Form: der Grad ist mit 5 zu groß! Polynome, die sich nur um einen Summanden aus [mm]\mathfrak{m}[/mm] unterscheiden, definieren dieselbe Restklasse. Wir reduzieren daher den Grad:
[mm]x^5 + \mathfrak{m} = x \cdot x^4 + \mathfrak{m} = x \cdot \left( x^4 + x + 1 + x + 1 \right) + \mathfrak{m}[/mm]
[mm]= x \cdot \left( x^4 + x + 1 \right) + x \cdot \left( x + 1 \right) + \mathfrak{m}[/mm]
Der erste Summand wird von [mm]\mathfrak{m}[/mm] verschluckt (er ist ja ein Vielfaches von [mm]x^4 + x + 1[/mm] und liegt daher in [mm]\mathfrak{m}[/mm] - so haben wir das gerade gemacht!). Kurzum gilt:
[mm]x^5 + \mathfrak{m} = x^2 + x + \mathfrak{m}[/mm]
Anders gesagt: [mm]x^5[/mm] und [mm]x^2 + x[/mm] definieren modulo [mm]\mathfrak{m}[/mm] dieselbe Restklasse. Jetzt geht es bei (*) weiter. Man erhält:
[mm]\left( x^2 + x + 1 + \mathfrak{m} \right) \cdot \left( x^3 + x^2 + 1 + \mathfrak{m} \right) = x^2 + x + x + 1 + \mathfrak{m} = x^2 + 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Modulo [mm]\mathfrak{m}[/mm] ist also das Produkt von [mm]x^2 + x + 1[/mm] und [mm]x^3 + x^2 + 1[/mm] gerade [mm]x^2 + 1[/mm].
Soweit dieses Beispiel.
In der Aufgabe a) ist nun das multiplikative Inverse [mm]g(x) + \mathfrak{m}[/mm] von [mm]1 + x^3 + \mathfrak{m}[/mm] zu bestimmen. Mache für dieses den Ansatz
[mm]g(x) + \mathfrak{m} = a + bx + cx^2 + dx^3 + \mathfrak{m}[/mm] mit [mm]a,b,c,d \in \mathbb{Z}_2[/mm]
Dann ist die folgende Gleichung zu lösen:
[mm]\left( 1 + x^3 + \mathfrak{m} \right) \cdot \left(a + bx + cx^2 + dx^3 + \mathfrak{m} \right) = 1 + \mathfrak{m}[/mm]
Multipliziere die linke Seite aus, wie ich das vorgeführt habe. Reduziere die dabei entstehenden Potenzen [mm]x^6, x^5, x^4[/mm]. Das Ergebnis für [mm]x^5[/mm] hast du ja oben. Für [mm]x^6, x^4[/mm] probiere das einmal alleine. Oder: formales Vorgehen mittels Polynomdivision. Wenn du den Grad unter 4 gedrückt hast, kannst du einen Koeffizientenvergleich ausführen und das Gleichungssystem für [mm]a,b,c,d[/mm] lösen. Das gibt dir das gesuchte [mm]g(x)[/mm].
Alternativ kannst du [mm]g(x)[/mm] auch durch Probieren finden. [mm]g(x)[/mm] ist von so einfacher Gestalt, daß es einfacher fast nicht mehr geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mo 30.07.2007 | | Autor: | RedHead |
Okay, also auch wenn ich das noch nicht alles im detail Verstanden hab danke schonmal für die umfangreiche Antwort.....allerdings war noch eine Vermutung unter der Aufgabe bezüglich der Ideale, lieg ich damit richtig?
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Hey du, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
also, ich denke, du hast es ein kleines Bisschen missverstanden.
Ideale...
sind nicht in erster Linie Zahlen mit einer bestimmten Eigenschaft, wie du meinstest, die die Menge aufspannen.
Vielmehr sind sie eine Teilmenge einer Obermenge M, die abgeschlossen ist bzgl. der Addition und abgeschlossen in sich selbst bzgl. der Multiplikation mit einem Element der Obermenge M.
Das heißt, wenn du zwei Elemente dieser Teilmenge miteinander addierst, liegt das Ergebnis wieder in dem Ideal.
Multiplizierst du zu einem Element aus den Idealen ein Element aus der Obermenge, muss das Ergebnis in der Teilmenge, also in dem Ideal, liegen.
Und die Teilmenge darf natürlich nicht die leere Menge sein, sonst kannst du alles hineininterpretieren. 
Jeder Ring hat zB. mindestens zwei Ideale: {0} und der gesamte Ring.
Wie das konkret bei [mm] \IZ_{27} [/mm] aussieht, kannste dir ja überlegen.
Schau mal weiter hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_%28Ringtheorie%29
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen! 
Liebe Grüße und viel Erfolg,
Isi
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