Körper mit Z multiplizieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:21 Di 07.10.2008 | | Autor: | TheTim |
| Aufgabe | Es sei (K,+,*) ein Körper. Man zeige, dass für alle m, n [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
1| ist im folgenden das neutrales Körperelement zur Multiplikation
(n * m) * 1| = n * (m * 1|)
im Skript steht folgende Definition (hat sie damit zu tun?):
1 * 1| := 1|
(n + 1) * 1| := (n * 1|) + 1| |
Wie zeige ich, dass die Gleichung unter den Voraussetzungen gilt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Di 07.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Also ich schreibe mal $e$ für [mm] $1\in [/mm] K$. Ich denke es fehlt noch die Definition für [mm] $(-1)\cdot [/mm] e$. Ich nehme an das sollte man dann einfach gleich $-e$ setzen.
Edit: Achja und was ist mit $0*e?$... sollte dann sicherlich auch gleich [mm] $0\in [/mm] K$ gesetzt werden.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Mi 08.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Hallo Robert,
in meinem Skript steht, dass aus der vorherigen Definition folgt:
-(n * e) = (-n) * e
Statt "1|" habe ich jetzt auch "e" verwendet.
Gruß, Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:48 Mi 08.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> in meinem Skript steht, dass aus der vorherigen Definition folgt:
> -(n * e) = (-n) * e
Ja aber der rechte Ausdruck ist doch mit den von dir gelieferten Definitionen gar nicht erklärt, falls $n>0$ ist. Oder irre ich mich?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Mi 08.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Laut Skript handelt es sich um eine rekursive Definition. Es ist ja angegeben was bei mal 1 passiert und wie mal plus e rechnet. Kommt man damit vielleicht von n = 1 zu 2 zu 3 usw. duch mehrfaches Addieren von e?
Denn es gilt ja (n * e) + e = (n + 1) * e.
Für n = 1 hätte man dann (1 * e) + e = e + e = (1 + 1) * e = 2 * e
Für n = 2 hätte man dann (2 * e) + e = (2 + 1) * e = 3 * e
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Mi 08.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Das ist schon klar, für natürliche Zahlen $n$ ist das ja auch alles kein Problem. Aber Was ist denn z.B. $(-2)*e$? Mir ist auch nicht klar wie man $n*2$ ausrechnen soll.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Mi 08.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Das ist mir leider auch nicht klar...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 08.10.2008 | | Autor: | andreas |
hi
sofern man in der rekursiven definition für $n$ beliebige ganze zahlen zulässt, so kann man damit auch $n * [mm] 1_K$ [/mm] für $n$ nicht-positiv definieren. etwa ergibt sich für $n = 0$: $(0 + [mm] 1)*1_K [/mm] = 0 * [mm] 1_K [/mm] + [mm] 1_K$, [/mm] also [mm] $1*1_K [/mm] = 0 * [mm] 1_K [/mm] + [mm] 1_K$, [/mm] da der linke ausdruck als [mm] $1_K$ [/mm] definiert ist, ergibt sich durch addition in $K$: [mm] $0*1_K [/mm] = [mm] 0_K$. [/mm] entsprechend erhält man durch "abstieg" die werte auf den negativen zahlen.
EDIT unfug wieder gelöscht
ENDE EDIT (+ tippfehler verbessert, ein 'e' eingefügt)
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mi 08.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Danke, das habe ich verstanden.
Ich glaube jetzt habe ich auch die Lösung:
Die rekursive Definition zeigt, dass [mm] 1\cdot1_K=1_K [/mm] ist und für jede nächsthöhere ganze Zahl jeweils [mm] 1_K [/mm] dazu addiert wird. Daraus folgt:
[mm] n\cdot1_K=\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{n-mal} [/mm] für n>0
nun kann man zeigen, dass [mm] n\cdot(m\cdot1_K)=n\cdot(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})=\overbrace{(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})+(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})+\ldots+(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})}^{n-mal}=(n\cdot m)\cdot1_K
[/mm]
Fehlt noch die Überprüfung für [mm] n\le0. [/mm] Aus den Umformungen von Andreas folgt:
[mm] 0\cdot1_K=0_K
[/mm]
[mm] n\cdot1_K=\overbrace{-1_K-1_K-\ldots-1_K}^{n-mal} [/mm] für n<0
Man kann mithilfe [mm] -(n\cdot1_K)=(-n)\cdot1_K [/mm] leicht erkennen, dass im Falle das entweder m oder n oder beide negativ sind das obrige Schema immer noch gilt.
Bleibt noch der Fall m oder n oder beide gleich null:
[mm] (n\cdot m)\cdot1_K=0_K
[/mm]
Wie zeige ich nun noch [mm] n\cdot(m*1_K)=0_K [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mi 08.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Danke, das habe ich verstanden.
>
> Ich glaube jetzt habe ich auch die Lösung:
>
> Die rekursive Definition zeigt, dass [mm]1\cdot1_K=1_K[/mm] ist und
> für jede nächsthöhere ganze Zahl jeweils [mm]1_K[/mm] dazu addiert
> wird. Daraus folgt:
>
> [mm]n\cdot1_K=\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{n-mal}[/mm] für n>0
Richtig.
> nun kann man zeigen, dass
> [mm]n\cdot(m\cdot1_K)=n\cdot(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})\red{=}\overbrace{(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})+(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})+\ldots+(\overbrace{1_K+1_K+\ldots+1_K}^{m-mal})}^{n-mal}=(n\cdot m)\cdot1_K[/mm]
Also die Idee ist schon irgendwie richtig, sicherlich ist die Aufgabe auch so gemeint, aber diese zweite Gleichheit gilt eben nicht einfach so... wer sagt dir, dass du da einfach so ein "Distributivgesetz" benutzen darfst? Ich sehe jedenfalls nicht wie das aus der Definition folgen soll. Das Problem ist halt wenn der rechte Faktor dieser Multiplikation verschieden von [mm] $1_K$ [/mm] ist, dann nützt deine Definition irgendwie gar nix.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mi 08.10.2008 | | Autor: | TheTim |
Hm, stimmt. Ich hab das die Aufgabe jetzt erstmal so hingeschrieben. Mal sehen, ob sie durchgeht, oder ob es Teilpunkte gibt. Vielen Dank noch mal für die Hilfe.
Gruß, Tim
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