Körper in Polarkoordinaten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:59 Mo 26.07.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Zusammen,
ich hab folgende Funktion in Polarkoordinaten:
r:=D*(1+sin(a))*sin(f-a)/(1-cos(f))-D/2; (Maple Befehl)
D und a sind zunächst konstanten, f ist die Variable.
Mit dem Maple-Befehl:
plot([r,f,f=0..2*Pi],coords=polar);
bekomm ich dieses Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das sieht soweit ganz gut aus. Jetzt möchte ich einen 3D Körper konstruieren, der in jedem Schnitt durch den Ursprung dieser Gleichung entspricht. Jedoch ändern sich die Konstanten, es ist also kein Rotationskörper.
Für D gilt:
[mm] Dr:=2*Dx/2*Dy/2/(sqrt(Dy^2/4*cos(p)^2+Dx^2/4*sin(p)^2));
[/mm]
wobei Dx und Dy wieder konstanten sind, und p die var.
Für a gilt:
[mm] ar:=-ax*ay/(sqrt(ay^2*cos(p)^2+ax^2*sin(p)^2));
[/mm]
wobei wieder ax und ay die konstanten sind und p die var.
Ich hab erst mal probiert, in die Gleichung von r die Gleichungen Dr und ar für D und a darzustellen, jedoch kann ich das dann nicht mehr durch einen Plot darstellen: Fehlermeldung bei Maple emty plot
und ansonsten hab ich keinerlei ahnung was ich sonst noch machen könnte.
wenn mir jemand ein paar tipps hätte wär ich sehr dankbar.
lg ratz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mo 26.07.2004 | | Autor: | ratz |
Der Körper müsste am Ende ungefähr so aussehen wie eine Vase oder ein liegendes Sektglas, hab ich mir überlegt.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo ratz,
> ich hab folgende Funktion in Polarkoordinaten:
>
> r:=D*(1+sin(a))*sin(f-a)/(1-cos(f))-D/2; (Maple
> Befehl)
> D und a sind zunächst konstanten, f ist die Variable.
>
> Mit dem Maple-Befehl:
>
> plot([r,f,f=0..2*Pi],coords=polar);
>
> bekomm ich dieses Bild:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Das sieht soweit ganz gut aus. Jetzt möchte ich einen 3D
> Körper konstruieren, der in jedem Schnitt durch den
> Ursprung dieser Gleichung entspricht. Jedoch ändern sich
> die Konstanten, es ist also kein Rotationskörper.
>
> Für D gilt:
>
>
> [mm]Dr:=2*Dx/2*Dy/2/(sqrt(Dy^2/4*cos(p)^2+Dx^2/4*sin(p)^2));
[/mm]
>
> wobei Dx und Dy wieder konstanten sind, und p die var.
>
> Für a gilt:
>
> [mm]ar:=-ax*ay/(sqrt(ay^2*cos(p)^2+ax^2*sin(p)^2));
[/mm]
>
> wobei wieder ax und ay die konstanten sind und p die var.
>
> Ich hab erst mal probiert, in die Gleichung von r die
> Gleichungen Dr und ar für D und a darzustellen, jedoch kann
> ich das dann nicht mehr durch einen Plot darstellen:
> Fehlermeldung bei Maple emty plot
> und ansonsten hab ich keinerlei ahnung was ich sonst noch
> machen könnte.
>
> wenn mir jemand ein paar tipps hätte wär ich sehr
> dankbar.
Mir ist das "Ziel" deiner Rechnungen überhaupt nicht klar, d.h. ich verstehe nicht, was gegeben ist und was du eigentlich ausrechnen willst.
Einen Körper, der in jedem Schnitt durch den Ursprung dieser Gleichung "entspricht" kann ich mir nur vorstellen, wenn der Schnitt nicht nur den Ursprung, sondern die komplette senkrechte Achse enthält. Ich nehme jetzt mal an, dass du das auch meintest.
Aber nach welcher Gesetzmäßigkeit ist dieser Körper denn aufgebaut? Dass die Schnitte der obigen Gleichung genügen, die Konstanten sich aber ändern, reicht mir nicht an Information.
Vielleicht hilft es, wenn du uns auch noch den Kontext dieser Aufgabe beschreibst.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:00 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
Guten Morgen,
also bei der Aufgabe geht es darum, einen Körper zu konstruieren, der optimale eigenschaften für ein optisches Gerät besitzt.
die obige Formel in Polarkoordinaten r:=... eintspricht einer gekippten Parabel, welche solche Eigenschaften besitzt. Die Konstante D entspricht zuminderst in Kartesischen Koordinaten der abstand vom Brennpunkt zum Parabelast auf der x achse (Brennpunkt liegt im Ursprung, das wurde vorher so verschoben)
a ist der Winkel um den die Parabel gekippt wurde, wenn ich jetzt einen Rotationskörper will kann ich in polarkoordinaten ganz eingach x durch
[mm] x^2+y^2 [/mm] ersetzen. Jedoch soll sich der Abstand des Brennpunktes also D und der Winkel a ändern.
Für D ist der Abstand Dx auf der x-Achse und Dy auf der y Achse gegeben, und dazwischen verhält sich der Abstand D elliptisch, damit hab ich die Gleichung für Dr erhalten.
Für a ist der Winkel ax auf der x-Achse und ay auf der y-achse gegeben.
und dazwischen soll er sich wieder Elliptisch verhalten woraus die Gleichung ar entsteht.
Und jetzt soll an jedem Schnitt der Achse diese Gleichung gelten wodurch ja für jeden Winkel ein D und ein a feststeht und damit ja auch die Gleichung r, jedoch versteh ich überhaupt nicht wie man daraus jetzt eine einzige Gleichung machen kann ????
Der körper sollte dann irgendwie ein zusammengedrückter kegel oder so sein.
Ich kann nicht sehr gut erklären also wenn noch irgendwas unklar ist bitte noch mal nachfragen.
vielen dank
ratz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Ich schreibe die Formeln nochmal in TeX, damit wir von den gleichen Funktionen reden:
Du hast eine Kurve in Polarkoordinaten
[mm]r(\varphi)=D(1+\sin(\alpha))\frac{\sin(\varphi-\alpha)}{1-\cos(\varphi)}-\frac{D}{2}[/mm]
Dann hast Du zwei Funktionen für die Koeffizienten $D$ und [mm] $\alpha$, [/mm] die folgendermassen aussehen:
[mm]D_r(\theta)=2\,\frac{\displaystyle\frac{D_x}{2}\,\frac{D_y}{2}}{\sqrt{\displaystyle\frac{D_y^2}{4}\cos^2(\theta)+\frac{D_x^2}{4}\sin^2(\theta)}}[/mm]
[mm]\alpha_r(\theta)=-\frac{\displaystyle\alpha_x\alpha_y}{\sqrt{\displaystyle\alpha_y^2\cos^2(\theta)+\alpha_x^2\sin^2(\theta)}}[/mm]
Ob das oben wirklich eine Parabel ist, kann ich jetzt nicht ganz nachvollziehen, ist aber erst mal egal. Ich vermute jetzt, dass sich $D$ und [mm] $\alpha$ [/mm] ändern sollen, während die "Parabel" gebildet wird. Dazu brauchst Du noch eine weitere Funktion, die [mm] $\theta$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\varphi$ [/mm] darstellt.
Habe Dein Problem aber immer noch nicht ganz verstanden.
Versuche mal Deine Formeln mit TeX zu schreiben. Das erleichtert die Lesbarkeit erheblich.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:49 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo,
die Gleichungen sehen gut aus, so hab ich sie gewollt.
Mein Problem:
ich will einen 3 D Körper. Die Gleichung für [mm] r(\varphi) [/mm] ist das die 2 D lösung.
Ob das mit dem Winkel Phi und theta stimmt bin ich mir nicht sicher.
Phi ist der Winkel um r dazustellen und für den 3 D Körper soll gelten, dass wenn ich die Zeichung von oben um eine kleines Stück in den raum kippe, hab ich dann durch diese kippung einen Winkel waraus ich D und a berechnen kann, die für diese Ebene gelten.
Was ich jetzt genau möchte ist die Gleichung für diesen 3 D Körper,
eigentlich hört sich das ja ganz einfach an, aber ich kann mir nicht so recht vorstellen, wie ich das mit den Winkeln machen soll und was ich wo einsetzen muss, bin sehr verzweifelt. :-(
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Um welche Achse kippst Du die Parabel, wenn Du Deine vorherige Zeichnung zugrunde legst? Um die Achse, die von -400 bis 400 geht, oder um die Achse, die von -120000 bis 0 geht (sind leider keine Achsenbezeichnungen dran) ?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 13:21 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
ich kann dir zunächst mal die Parabel in kartesischen Koordinaten angeben,
damit kenn ich mich besser aus und kanns vielleicht auch besser erklären:
[mm]z(x) = 1/\sin(\alpha)^2*( \bruch{1}{2}*\wurzel{1-sin(\alpha)^2}*(D*(2+sin(\alpha)-2*x*sin(\alpha))+wurzel{(1+sin(\alpha))*(D^2-2*D*x*sin(\alpha))) [/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das ist jetzt eine Parabel deren Brennpunkt im Uhrsprung liegt und die um den Winkel [mm] \alpha [/mm] gekippt wird. (laut zeichnung wird die Parabel gegen die z- achse gekippt)
vielleicht kann man das problem auch in kartesischen Koordinaten lösen, ich dachte nur das es eventuell in Polarkoordinaten einfacher ist, deshalb hab ich die Gleichung in Polarkoordinaten angegeben.
In kartesischen Koordinaten gilt für D:
[mm] D(x) = 2*\wurzel{x^2+(1-x^2/(Dx^2/4)*Dy^2/4} [/mm]
und für den Winkel
[mm] w(x) = - [mm] \wurzel{1-x^2/(Dx^2/4)}*|\alphax-\alphay|+\alphax
[/mm]
liebe grüße steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Ich glaube, ich habe Dein Problem jetzt verstanden: Du hast eine Parabel, wie im folgendem Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt drehst Du diese Parabel um die y-Achse, wobei sich die Verschiebung der Parabel um die y-Achse (Parameter $D$) und der "Einfallswinkel" der Parabel (Parameter $a$) während der Drehung ändert.
Ist das richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
ja genau, man kann das auch einfach formulieren.
sorry, aber erkären liegt mir überhaupt nicht.
weist du wie man daraus die gleichung bekommt?
in kartesischen koordinaten wäre mir die lösung lieber, aber in polarkoordinaten würde es mir auch sehr weiter helfen.
liebe grüße steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Meiner Meinung nach musst Du die Parametergleichungen [mm] $D(\theta)$ [/mm] und [mm] $\alpha(\theta)$ [/mm] in die Parabelgleichung einsetzen. Damit erhälst Du eine Funktion [mm] $r(\varphi,\theta)$, [/mm] die ein Fläche in sphärischen Koordinaten darstellt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Als Parameter sollten nur noch [mm] $\alpha_x,\,\alpha_y,\,D_x,\,D_y$ [/mm] übrigbleiben.
Die Variablenbezeichnungen waren von mir, ohne dass ich eine Ahnung hatte, zufällig korrekt. Man muss sich jetzt nur noch überlegen, in welchem Intervall die Variablen [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\theta$ [/mm] sich befinden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
Danke für deine Hilfe,
kennst du dich zufällig mit Maple oder mit Mathcad oder so aus??
ich bräuchte jetzt noch ne graphische Darstellung von der Gleichung
mit cylinderplot
sieht das bei Maple sehr seltsam aus
und mit implicitplot3d bekomm ich auch nur ne fehlermeldung :-(
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Mit Maple oder Mathcad kenne ich mich leider nicht aus. Bist Du Dir denn sicher, dass diese Polardarstellung der Parabel richtig ist? Ich komme da imer auf was anderes. Ausserdem Frage ich mich, wie groß die Krümmung der Parabel sein soll? Ändert die sich denn nie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
nein bin mir überhaupt nicht sicher ob die polardarstellung stimmt
und wäre um andere lösungen sehr dankbar, vielleicht liegs daran das meine Maple plots so seltsam aussehen.
was meinst du denn mit Krümmung?
vielleicht das
[mm] y = p * x^2[/mm]
??
das p ist so weit ich weis immer konstant 1 so das das wegfällt.
Gottseidank ist mir so schon viel zu kompliziert
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Siehe Parallelthread
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Wie kommst Du auf diese Polardarstellung der Parabel? Das ist mir nicht klar.
Ich erhalte da immer etwas anderes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
ich weis nicht so genau, ehrlich gesagt komm ich da selber überhaupt nicht drauf, die gleichung hab ich aus nem Artikel abgeschrieben, der ist auf englich und vielleicht hab ich das auch falsch verstanden.
kannst du mir vielleicht deine Lösung schreiben ?
wenn ich die Parabel in Polarkoordinaten haben will setzt ich für
[mm] x = r*\cos(\varphi) [/mm]
und für
[mm] y = r*\sin(\varphi) [/mm]
ich schaffs allerdings nicht diese gleichung dann nach r aufzulösen
liebe grüße
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Also ich würde das so lösen:
Die Darstellung der Parabel in Polarkoordinaten ist
[mm]r(\varphi)=\frac{p}{1+\cos(\varphi)}[/mm]
(Das habe ich aus einer Formelsammlung, Stichwort: Kegelschnitte) $p$ ist dabei der doppelte Abstand des Brennpunktes vom Ursprung, woraus sich die Krümmung der Parabel ergibt.
Wenn ich jetzt die kartesichen Koordinaten dazu ausrechnen will. brauche ich ja nur [mm]x=r(\varphi)\cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r(\varphi)\sin(\varphi)[/mm] zu schreiben. Damit ist die Parabel aber noch nicht verschoben oder gedreht. um das zu erreichen setze ich
[mm]x=r(\varphi-\alpha)\cos(\varphi-\alpha)+D[/mm] und
[mm]y=r(\varphi-\alpha)\sin(\varphi-\alpha)[/mm]
[mm]\varphi[/mm] geht dabei von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$.
[/mm]
Jetzt setzt Du für [mm] $\alpha$ [/mm] und $D$ nur noch die Funktionen in Abhängigkeit von [mm] $\theta$ [/mm] ein, das von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] geht. Damit erhälst Du [mm] $x(\varphi,\theta),\,y(\varphi,\theta)$.
[/mm]
Um das jetzt ins Dreidimensionale zu kriegen, musst Du überlegen, um welche Achse Du drehst. Wenn Du um die $y$-Achse drehst ergeben sich die neuen Koordinaten folgendermaßen:
[mm]x_n=x(\varphi,\theta)\cos(\theta)[/mm]
[mm]y_n=y(\varphi,\theta)[/mm] (das bleibt)
[mm]z_n=x(\varphi,\theta)\sin(\theta)[/mm]
Also wieder eine Art Polarkoordinaten. Es kann sein, dass ich jetzt hier irgendwelche Achsen vewechselt habe, sodass da irgendwas verdreht ist. Vielleicht habe ich auch das $D$ an der falschen Koordinate addiert, vielleicht muss es auch subtrahiert werden...
Mit der richtigen Konzentration kriegst Du das aber hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 27.07.2004 | | Autor: | ratz |
ok danke schön ich werd mir das noch mal anschauen auf jedenfall mal vielen dank.
liebe grüße steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Di 27.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Achtung: Die Polardarstellung
[mm]r(\varphi)=\frac{p}{1+\cos(\varphi)}[/mm]
bezieht sich auf den Brennpunkt der Parabel. Nicht auf den Ursprung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Mi 28.07.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo, noch mal eine kurze Frage.
Funktioniert das in Kartesischen Koordinaten auch so , das ich zuerst die Gleichung der gekippten Parabel ausrechne, sowie die die Gleichung für
D und für den winkel, und diese dann in die Formel einsetze??
Für die Parabel gilt ja
[mm] y(x) = ... D * x * \alpha + ...... [/mm]
und dann setz ich für D
[mm] D(x) = .... [/mm]
und für [mm] \alpha [/mm] auch eine Funktion in abhänigkeit von x.
wie bekomm ich dann einen 3 D körper ??? oder funktioniert das bloß
in Polarkoordinaten
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 28.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Vielleicht hast Du noch nicht ganz verstanden, wie man eine Fläche im dreidimensionalen Raum darstellt.
Fangen wir mal an mit einer Kurve im dreidimensionalen Raum. Dazu gibt es einen Parameter $t$ (in einem vorgegebenen Intervall), der über die drei Funktionen [mm] $x(t),\,y(t),\,z(t)$ [/mm] auf den dreidimensionalen Raum abgebildet wird. Ich fange z.B. bei $t=0$ an, setze dies in die Funktionen ein und erhalte eine Punkt. Dann gehe ich weiter mit $t=0,1$ und erhalte einen weiteren Punkt usw. Alle Punkte zusammen bilden dann eine Kurve im dreidimensionalen Raum.
Für eine Fläche benötigen wir zwei Parameter, z.B. $s$ und $t$. Die beiden Parameter werden jetzt über die Funktionen [mm] $x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t)$ [/mm] auf den dreidimensionalen Raum abgebildet. Ich fange an bei z.B. $s=0$ und $t=0$ und erhalte meinen ersten Punkt, bei $s=0,1$ und $t=0$ erhalte ich meinen zweiten Punkt, dann weiter mit $(0,2;0)$ und $(0,3;0)$usw. Das ist erstmal eine Kurve. Aber wenn ich dann mit $s=0$ und $t=0,1$ anfange, ensteht eine zweite Kurve dicht neben der ersten Kurve. Alle Kurven zusammen bilden dann die Fläche.
Hier in deinem Fall sind die Flächenparameter [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\theta$. [/mm] Die [mm] $\varphi$-Kurven [/mm] sind die Parabeln. Die [mm] $\theta$-Kurven [/mm] sind Kreise um die $y$-Achse.
Du darfst also nicht $D(x)$ ansetzen. Das muss $D(t)$ oder so heissen, weil Dir sonst ein Parameter für die Fläche fehlt. Genauso mit [mm] $\alpha(t)$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 28.07.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Christian,
sorry das ich schon wieder nerven muss,
aber irgendwie raff ich das nicht.
ich hab doch jetzt die Gleichung!
$ [mm] r(\varphi)=\frac{p}{1+\cos(\varphi)} [/mm] $
und wenn ich jetzt ne gekippte und verschobene Parabel haben will
was muss ich dann mit dem
$ [mm] x(\varphi,\theta),\,y(\varphi,\theta) [/mm] $
machen setz ich das wieder in die gleichung ein :
$ y(x) = [mm] x^2 [/mm] $
und lös dann nach r auf ???
wenn ich das nämlich mache erhalte ich eine äußerst komplexen Graphen zu dieser Funktion mit einigen sprungstellen und definitionslücken.
oder muss das schon so funktionieren, dann muss ich s noch mal testen
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mi 28.07.2004 | | Autor: | taenzer |
> Hallo Christian,
>
> sorry das ich schon wieder nerven muss,
>
Macht ja nix.
> aber irgendwie raff ich das nicht.
>
Das geht schon.
> ich hab doch jetzt die Gleichung!
>
>
> [mm]r(\varphi)=\frac{p}{1+\cos(\varphi)}[/mm]
>
> und wenn ich jetzt ne gekippte und verschobene Parabel
> haben will
> was muss ich dann mit dem
>
>
> [mm]x(\varphi,\theta),\,y(\varphi,\theta)[/mm]
>
> machen setz ich das wieder in die gleichung ein :
>
> [mm]y(x) = x^2[/mm]
>
> und lös dann nach r auf ???
Nein.
>
> wenn ich das nämlich mache erhalte ich eine äußerst
> komplexen Graphen zu dieser Funktion mit einigen
> sprungstellen und definitionslücken.
>
> oder muss das schon so funktionieren, dann muss ich s noch
> mal testen
Das müsste es.
Nehmen wir mal an, unsere flache zweidimensionale Parabel steht in der $xy$-Ebene und die Öffnung der Parabel zeigt in Richtung der $y$-Achse, so wie in einer Skizze, die ich schon mal gepostet hatte. Diese Parabel wird noch verschoben und gekippt. Damit erhalten wir eine Kurve in der $xy$-Ebene:
$ [mm] x=r(\varphi-\alpha)\cos(\varphi-\alpha)+D [/mm] $ und
$ [mm] y=r(\varphi-\alpha)\sin(\varphi-\alpha) [/mm] $
Jetzt schaust Du Dir die Sache von oben an, so dass die Spitze der $z$-Achse Dir ins Auge piekst, und beginnst, die $xy$-Ebene um die $y$-Achse zu drehen. Dabei verändern sich die Parameter [mm] $\alpha$ [/mm] und $D$, so dass die Parabeln zusammengenommen eine irgendwie krumme Obstschale ergeben.
Das sind dann die [mm] $x(\varphi,\theta)$ [/mm] und [mm] $y(\varphi,\theta)$ [/mm] (immer relativ zur Parabelebene).
Dabei verändert sich natürlich der wahre $x$-Wert aufgrund der Drehung und es entsteht der $z$-Wert. Der $y$-Wert bleibt erhalten.
$ [mm] x_n(\varphi,\theta)=x(\varphi,\theta)\cos(\theta) [/mm] $
$ [mm] y_n(\varphi,\theta)=y(\varphi,\theta) [/mm] $
$ [mm] z_n(\varphi,\theta)=x(\varphi,\theta)\sin(\theta) [/mm] $
Wenn man das ausschreibt ist das eine ziemlich große Formel.
Jetzt weiss ich leider nicht, was man tun muss, um das in Dein Matheprogramm einzubauen. Die [mm]x_n(\varphi,\theta),\, y_n(\varphi,\theta)\mbox{ und }z_n(\varphi,\theta)[/mm] bilden eine mit den Variablen [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\theta$ [/mm] parametrisierte Fläche. [mm] $\varphi$ [/mm] geht von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] und [mm] $\theta$ [/mm] sollte von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] gehen.
Ist bis dahin alles verstanden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Do 29.07.2004 | | Autor: | ratz |
Ok, vielen vielen Dank ich probier das jetzt nochma und
hoffe das ich das jetzt verstanden habe.
lg steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Do 29.07.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Christian,
kann ich jetzt aus diesen Gleichungen
$ [mm] x_n(\varphi,\theta)=x(\varphi,\theta)\cos(\theta) [/mm] $
$ [mm] y_n(\varphi,\theta)=y(\varphi,\theta) [/mm] $
$ [mm] z_n(\varphi,\theta)=x(\varphi,\theta)\sin(\theta) [/mm] $
auch eine einzige Gleichung für die Fläche bestimmen, also z.B:
[mm] F(x,y,z) = ..... [/mm]
lg steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Do 29.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Also wenn man eine Fläche in einer solchen Darstellung haben möchte, dann müsste es heissen
$F(x,y,z)=0$
wobei $F$ irgendein Ausdruck ist. Z.B. für die Kugeloberfläche
[mm] $x^2+y^2+z^2-R^2=0$
[/mm]
Aber in deinem Fall ist das glaube ich zu kompliziert.
Hast Du matlab? Damit kenne ich mich besser aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Do 29.07.2004 | | Autor: | ratz |
ja matlab hab ich auch.
damit kenn ich mich aber nicht so gut aus.
hab jetzt mittlerweile auch irgendwas hinbekommen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
jetzt ist nur noch komisch das 2 so doppelkegel entstehen und das wenn man Dx und Dy unterschiedlichen werte zuweist das trotzdem als kreis dargestellt wird. Aber immerhin sieht das jetzt nicht mehr total wirr aus.
also noch mal vielen vielen dank für deine hilfe
lg steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Do 29.07.2004 | | Autor: | taenzer |
Hier ist mal ein M-File. Das musst Du in ein Verzeichnis tun, das von Matlab mit eingelesen wird. Dann kannst Du die Funktion plotoptic aufrufen.
z.B. mit
phi=-pi:.1:pi;
theta=0:.1:pi;
plotoptic(phi,theta,1,1,1,1)
Die ersten beiden Argumente sind phi und theta, die letzten vier sind jeweils Dx, Dy und ax, ay.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") 1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: m) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Do 05.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo allerseits.
Seid ihr sicher, daß die Formeln für r, D und alpha richtig sind? Ich erhalte als Schnitte nämlich keine Parabeln sondern eher Schleifen, die alle so aussehen: (die Parameterwerte waren allerdings recht frei gewählt; vielleicht würde es helfen, "realistische" Werte zu wählen...)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man [mm]r(\phi;\theta)[/mm] als 3D Graph (Kugelkoordinaten!) darstellt (ich glaube, das war gesucht), sieht es übrigens so aus: (hat doch schon was von ner Linse oder nem Spielgel)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielleicht sollte man über [mm]r(\phi,\theta)[/mm] also nochmal nachdenken.
Welche optischen Eigenschaften soll die Fläche denn nun explizit haben?
Gruß,
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Fr 06.08.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo,
die obtischen eigenschaften von dieser Linse, die im Übrigen eigentlich ein hohlkörper sein sollte, so eine art sektglas, soll die eigenschaft haben, licht gleichmäßig auszustrahlen, das zum beispiel am ausgang des Körpers die Fläche gleichmäßig ausgeleuchtet wird (z.B für ein Fotonegativ).
ob das so ist oder nicht muss aber sonächst berechnet werden und dazu braucht man den körper und zwar wie ich mittlerweile erfahren habe in kartesischen koordinaten, da das programm nur kartesische koordinaten liefert und das umrechnen zu lange dauert.
lg steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Fr 06.08.2004 | | Autor: | taenzer |
Soll das jetzt ein Hohlspiegel sein oder eine Linse?
Ein Parabolspiegel hat nämlich genau die Eigenschaft, die Du suchst: Stellst Du in den Brennpunkt des Paraboloids eine Lampe, so wird das Licht am Parabolspiegel genau so reflektiert, dass Du ein paralleles gleichmäßig ausgeleuchtetes Strahlenbündel erhälst. Da brauchst Du aber einen ganz normalen Parabolspiegel.
Wenn Du eine Linse suchst, die die ähnlichen Eigenschaften eines Parabolspiegels haben soll, dann muss das ein ganz normaler Rotationskörper sein, denn jede Verzerrung bezüglich der Achse, sorgt für eine Verzerrung im Bild (Voraussetzung ist dabei, dass Du eine einwandfreie Quelle hast).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mo 09.08.2004 | | Autor: | ratz |
Ja genau das hab ich auch schon gemacht und das funktioniert auch super.
jetzt will man noch andere sachen testen und genau wissen was da passiert und vielliecht kommt ja irgendwo noch was tolles raus.
lg steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Do 05.08.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Christian,
kannst du mir vielleicht noch kurz das Problem in Kartesichen koordinaten erklären.
nur so grob, das ich verstehe wie das bit der darstellung der körper geht.
ich schreib mal auf wie ich mir das denke:
ich habe eine Gleichung [mm] y(x) [/mm] welche das konstante D und
[mm]\alpha [/mm] einthällt wenn ich das jetzt in 3D haben will,
setzt ich in y(x) für [mm] x = \wurzel{x^2+z^2} [/mm] und für
[mm] D = D(x) [/mm] sowie für [mm] \alpha = \alpha(x)[/mm]
ist das so korrekt oder versteh ich das falsch??
lg steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:58 Do 05.08.2004 | | Autor: | taenzer |
> Hallo Christian,
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> kannst du mir vielleicht noch kurz das Problem in
> Kartesichen koordinaten erklären.
>
> nur so grob, das ich verstehe wie das bit der darstellung
> der körper geht.
>
> ich schreib mal auf wie ich mir das denke:
>
> ich habe eine Gleichung [mm]y(x)[/mm] welche das konstante D
> und
> [mm]\alpha[/mm] einthällt wenn ich das jetzt in 3D haben will,
>
>
> setzt ich in y(x) für [mm]x = \wurzel{x^2+z^2} [/mm] und
> für
Achtung: Du musst hier zwischen zwei verschiedenen $x$ unterscheiden. Das eine $x$ ist das aus dem dreidimensionalen Koordinatensystem, ich hatte es als [mm] $x_n$ [/mm] bezeichnet. Das andere $x$ ist das x welches in der gedrehten xy-Ebene liegt.
> [mm]D = D(x)[/mm] sowie für [mm]\alpha = \alpha(x)[/mm]
Welches x ist das?
> ist das so korrekt oder versteh ich das falsch??
Ich habe mal versucht ein Bild zu zeichnen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
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> lg steffi
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Mo 09.08.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo,
ich hab das jetzt irgendwie immer noch nicht verstanden wie ich das machen muss.
ich fang mal an nochmal zu erklären was ich habe.
Ich hab eine Gleichung einer gekippten Parabel in der x,z Ebene:
[Dateianhang nicht öffentlich]
zunächst sind Dx und [mm] \alpha [/mm] x konstanten.
Gut soweit ist alles klar.
Dx ist jetzt 2*der Abstand wo der Graph die x - achse schneidet.
Jetzt hab ich ein [mm] Dx(x) [/mm] welches jetzt eine Ellipse auf der x-y Ebene ist und ein [mm] \alpha(x) [/mm] das auf von diesem x abhängt.
und jetzt kenn ich mich schon nicht mehr so recht aus
Wie bekomm ich jetzt den körper hin? ich hab in jeder x,z ebene die obige formel und auch für jedes x das passende Dx und [mm] \alpha [/mm] x . Wie kommt jetzt da noch y ins spiel und wie muss ich meine Formel anpassen ?
Irgendwie fehlt mir für das problem komplett die vorstellung.
:-((((
lg steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 09.08.2004 | | Autor: | taenzer |
> Hallo,
> ich hab das jetzt irgendwie immer noch nicht verstanden wie
> ich das machen muss.
>
> ich fang mal an nochmal zu erklären was ich habe.
>
> Ich hab eine Gleichung einer gekippten Parabel in der x,z
> Ebene:
>
[mm]z(x)=\frac{1}{\sin(\alpha_x)^2}\left[\frac12\sqrt{1-\sin(\alpha_x)^2}\;
\left(D_x(2+\sin(\alpha_x))-2x\sin(\alpha_x)\right)-
\sqrt{(1+\sin(\alpha_x))\cdot(D_x^2-2D_x x\sin(\alpha_x))}[/mm]
Warum das eine Parabel sin soll ist mir nicht klar, aber sei's drum.
>
> zunächst sind Dx und [mm]\alpha[/mm] x konstanten.
>
> Gut soweit ist alles klar.
>
> Dx ist jetzt 2*der Abstand wo der Graph die x - achse
> schneidet.
>
> Jetzt hab ich ein [mm]Dx(x)[/mm] welches jetzt eine Ellipse auf der
> x-y Ebene ist und ein [mm]\alpha(x)[/mm] das auf von diesem x
> abhängt.
> und jetzt kenn ich mich schon nicht mehr so recht aus
Hier liegt auch wirklich das Problem. Meiner Meinung nach ist das nicht [mm] $D_x(x)$ [/mm] sondern [mm] $D_x(\varphi)$. [/mm] Das [mm] $D_x$ [/mm] hängt also nicht von dem $x$ ab, sondern von dem Winkel, um den die Parabel gedreht wird.
Ich möchte Dir mal ein anderes einfacheres Beispiel zeigen:
Ich wähle eine Parabel [mm] $z(x)=ax^2+d$ [/mm] in der $zx$-Ebene. $a$ und $d$ sind meine Parameter. Die Parabel ist so ähnlich wie Deine, nur dass ich nicht den Einfallswinkel der Parabel ändere, sondern stattdessen die Öffnung der Parabel. Wenn ich jetzt anfange die Parabel um die $z$-Achse zu drehen, sollen sich diese Parameter in Abhängigkeit des Drehwinkels [mm] $\varphi$ [/mm] ändern.
Die Parameter sollen sich so ändern, dass sie, wenn sich die Parabel in der $zx$-Ebene befindet [mm] ($\varphi=0$), [/mm] die Werte [mm] $a_x$ [/mm] und [mm] $d_x$ [/mm] besitzen, und wenn sich die Parabel in der $yz$-Ebene befindet [mm] ($\varphi=90$), [/mm] die Werte [mm] $a_y$ [/mm] und [mm] $d_y$ [/mm] besitzen. Das erreiche ich durch folgende Formeln:
[mm]d=\sqrt{(d_x\cos\varphi)^2+(d_y\sin\varphi)^2}[/mm]
[mm]a=\sqrt{(a_x^2\cos\varphi)^2+(a_y\sin\varphi)^2}[/mm]
Die Parameter verhalten sich wie eine Ellipse in der $xy$-Ebene. Das habe ich jetzt mal so eingerichtet, damit es Deinem Problem nahe kommt.
Nun möchtest Du das ja in kartesichen Koordinaten haben. Also rechne ich den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] um. Es gilt:
[mm]\sin\varphi=\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
[mm]\cos\varphi=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
Das setze ich jetzt in die Parametergleichungen ein und forme ein wenig um:
[mm]d=\frac{\sqrt{d_x^2x^2+d_y^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
[mm]a=\frac{\sqrt{a_x^2x^2+a_y^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
Jetzt setze ich $d$ und $a$ in $z$ ein und erhalte die Ebene in expliziter Form $z(x,y)$ in kartesischen Koordinaten, allerdings muss ich daran denken, dass das $x$ in der Parabel jetzt umgerechnet werden muss [mm] $x_n=\sqrt{x^2+y^2}$, [/mm] denn wenn sich die Parabel dreht ist der wahre $x$-Wert im dreidimensionalen Koordinatensystem nur eine Projektion des $x$-Wertes der Parabel auf die $x$-Achse:
[mm]z(x,y)=\frac{\sqrt{a_x^2x^2+a_y^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)+\frac{\sqrt{d_x^2x^2+d_y^2y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm]
Fertig!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei Dir sind die Formeln vielleicht komplizierter, aber die Vorgehensweise ist genauso.
Ich habe bei Dir immer das Gefühl, dass Du die Parameter $D$ und [mm] $D_x,\,D_y$ [/mm] und die Koordinaten $x$ und [mm] $x_n$ [/mm] durcheinanderwürfelst.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Mo 09.08.2004 | | Autor: | ratz |
hallo,
super, vielen vielen dank jetzt habs sogar ich begriffen
ist eigentlich ganz logisch.
lg steffi  )))
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