Körper der Charakteristik p < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Black90 |
| Aufgabe | k sei Körper der Charakteristik p>0, zeigen Sie:
Falls ggT(n,p-1)=1 ist, dann hat [mm] x^n=a [/mm] a [mm] \in [/mm] k stets eine Lösung x [mm] \in [/mm] k |
Hallo zusammen,
wie würdet ihr an die Aufgabe rangehen?
Ich wollte zuerst nen Widerspruchsbeweis versuchen, aber das hat irgendwie überhaupt nicht geklappt.
Könnte mir vielleicht jemand ein wenig Starthilfe geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Do 19.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> k sei Körper der Charakteristik p>0, zeigen Sie:
> Falls ggT(n,p-1)=1 ist, dann hat [mm]x^n=a[/mm] a [mm]\in[/mm] k stets eine
> Lösung x [mm]\in[/mm] k
Die Aussage ist falsch: ist $k = [mm] (\IZ/p\IZ)(X)$ [/mm] (Quotientenkoerper vom Polynomring ueber [mm] $\IZ/p\IZ$) [/mm] und $a = X$, so hat [mm] $x^n [/mm] = a$ keine Loesung $x [mm] \in [/mm] k$ sobald $n > 1$ ist.
Ist vielleicht vorausgesetzt, dass der Koerper endlich ist? Aber selbst dann sollten sich Gegenbeispiele finden lassen. Die Aussage stimmt eigentlich nur fuer $|k| = p$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 19.01.2012 | | Autor: | Black90 |
Vielen Dank schonmal für deine Antwort.
Weitere Voraussetzungen sind nicht genannt, ist es aber sehr gut möglich dass mein Prof hier implizit vom [mm] \mathbb{F}_p [/mm] ausgeht.
Hast du vielleicht einen Tipp wie ich das dort zeigen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Do 19.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Weitere Voraussetzungen sind nicht genannt, ist es aber
> sehr gut möglich dass mein Prof hier implizit vom
> [mm]\mathbb{F}_p[/mm] ausgeht.
> Hast du vielleicht einen Tipp wie ich das dort zeigen
> kann?
Zeige, dass die Abbildung [mm] $\IF_p \to \IF_p$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] injektiv ist (damit ist sie auch surjektiv). Dazu reicht es aus, die Abbildung eingeschraenkt auf [mm] $\IF_p^\ast$ [/mm] zu betrachten: damit ist es ein Gruppenhomomorphismus auf einer zyklischen Gruppe mit $p - 1$ Elementen.
Damit reicht es aus, einen Erzeuger [mm] $\alpha \in \IF_p^\ast$ [/mm] der Gruppe zu nehmen (also ein Element mit Ordnung $p - 1$) und zu zeigen, dass [mm] $\alpha^n$ [/mm] ebenfalls Ordnung $p - 1$ hat. (Das ist uebrigens aequivalent zu $ggT(n, p - 1) = 1$.)
(Das zeigt auch, warum es bei anderen endlichen Koerpern mit [mm] $p^k$ [/mm] Elementen nicht geht: da muesste $ggT(n, [mm] p^k [/mm] - 1) = 1$ sein, weil [mm] $\IF_{p^k}^\ast$ [/mm] zyklisch der Ordnung [mm] $p^k [/mm] - 1$ ist, und nicht nur $ggT(n, p - 1) = 1$.)
LG Felix
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