Körper K mit char(K)>0 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 09.11.2008 | | Autor: | kevin-m. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
wie zeige ich, dass jeder Körper mit Charakteristik char(K) = p > 0 einen Unterkörper mit p Elementen besitzt?
Ich weiß zwar, dass dann gilt, dass dann 1+1+1+.....+1 (p-mal) = 0 gilt (Def. der Charakteristik), aber wie komme ich dann zum nächsten Schritt?
Inutitiv weiß ich auch, dass die Aussage stimmt, weil z. B. in einem Körper mit fünf Elementen {0, 1, 2, 3, 4} gilt: 1+1+1+1+1=0, weil ja die Zahl fünf nicht in der Menge drin ist bzw. 5=0 in diesem Körper gilt.
Kann mir jemand bitte helfen?
Tschüss,
Kevin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 09.11.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo Kevin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> wie zeige ich, dass jeder Körper mit Charakteristik char(K)
> = p > 0 einen Unterkörper mit p Elementen besitzt?
>
Dazu musst Du ja zeigen, dass es in K eine Teilmenge$ [mm] U\subseteq [/mm] K$ gibt, so dass U genau p Elemente besitzt und U (mit den Verknüpfungen, die sich von K vererben) ein Körper ist.
Dazu würde ich in zwei Schritten vorgehen:
1.) Der kreative Teil: Welche p Elemente aus K sollten denn in U enthalten sein? Hier kannst Du einfach mal intuitiv loslegen, wenn Deine Vermutung nicht stimmt solltest Du spätestens im zweiten Schritt ein Problem bekommen.
2.) Der anstrengende Teil: Jetzt muss man noch zeigen, dass einen Körper bildet. Die "Rechengesetze" wie Distributivgesetz, Assoziativgesetz und Kommutativgesetz vererben sich ja direkt aus dem "Oberkörper" K. Es bleiben also noch folgende Dinge zu zeigen:
- U enthält die entsprechenden neutralen und inversen Elemente
- U ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation.
Ich denke, die größten Schwierigkeiten liegen im Teil 1, Teil 2 ist dann fast nur noch stures Abprüfen der einzelnen Regeln. Wenn Du einen Vorschlag zu 1.) hast kannst Du ihn ja schon mal hier reinstellen, irgendwer schaut sich das dann bestimmt einmal kurz an.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 So 09.11.2008 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich würde mal sagen, dass der Unterkörper die Elemente {0, 1, 2, .... , p-1} enthalten sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 So 09.11.2008 | | Autor: | piet.t |
> Hallo,
> danke für die Antwort.
> Ich würde mal sagen, dass der Unterkörper die Elemente
> {0, 1, 2, .... , p-1} enthalten sollte.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Im Prinzip ist das richtig, nur sollte man statt zwei besser 1+1, statt 3 besser 1+1+1 usw. schreiben, denn in einem allgemeinen Körper haben ja nur 0 und 1 eine festgelegte Bedeutung.
Und nun musst Du noch den zweiten Schritt im Beweis machen und zeigen, dass diese Elemente tatsächlich einen Unterkörper bilden.
Gruß
piet
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