Körper? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | M = {0, 1, . . . , n-1}
Warum ist M mit den Operationen +M und *M für n = [mm] 2^{k} [/mm] und k > 1 kein Körper?
Hinweis: Schauen Sie sich die Multiplikationstabelle im Fall n = 4 an. |
Warum ist es denn kein Körper?
Weil man in der multiplikationstabelle an der stelle n=4 den wert 2 erhält?
gruß
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Hallo,
ich weiß nicht, was du mit der Stelle n=4 meinst. Und ich weiß jetzt auch nicht, wie genau du das begründen sollst. Der tatsächliche Grund, weshalb das für die gegebene Menge nur für Körper mit primer Ordnung funktioniert, ist nicht in ein, zwei Sätzen erklärbar.
Vermutlich sollst du aber einfach nur feststellen, dass für n=4 in der Multiplikationstabelle etwas passiert, was nicht passieren darf: bei der Multiplikation gibt es nicht mehr für jedes von Null verschiedeene Element ein Inverses.
Gruß, Diophant
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Ja, aber wie soll ich das denn im Bezug auf die Aufgabenstellung zeigen?
Hab ja meine Menge M gegeben. Im Fall von n=4 Also M={0,1,2,3}
multiplikationstabelle:
*M 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 4 6
3 0 3 6 9
ich versteh nicht wie ich eine Operation auf dieser Tabelle mit [mm] n=2^{k} [/mm] ausführen soll.
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Hallo,
ok, jetzt ist mir klar, wo der Hase im Pfeffer liegt: deine Multiplikationstabelle ist natürlich falsch, sie darf auch nur die Zahlen von 0 bis 3 enthalten. Du musst die nichttrivialen Werte sukzessive aus der Additionstabelle berechnen, etwa
2*3=(1+1)*3=3+3=2
Und dann wirst du eben das angesprochene Malheur feststellen.
Ich hielte es auch für gut, wenn du deine Additionstabelle hier angeben könntest, zur Kontrolle.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> ok, jetzt ist mir klar, wo der Hase im Pfeffer liegt: deine
> Multiplikationstabelle ist natürlich falsch, sie darf auch
> nur die Zahlen von 0 bis 3 enthalten.
Warum nur Zahlen von eins bis drei?
Du musst die
> nichttrivialen Werte sukzessive aus der Additionstabelle
> berechnen, etwa
>
> 2*3=(1+1)*3=3+3=2
Wie kommst du hier auf die 2?
>
> Und dann wirst du eben das angesprochene Malheur
> feststellen.
>
> Ich hielte es auch für gut, wenn du deine Additionstabelle
> hier angeben könntest, zur Kontrolle.
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
der Körper, den du laut dem Hinweis betrachten sollst, besteht ja gerade aus den Zahlen von 0 bis 3. Und bei den beteilgten Rechenoperationen dürfen nur Ergebnisse resultieren, die aus dieser Menge stammen. Das nennt man Abgeschlossenheit.
Ist dir eigentlich so grob klar, mit was du da arbeitest, wenn du von einem Körper sprichst? Ich denke, es wäre gut, wenn du dir zunächst nochmal die Definition eines Körpers anschaust und dann ersteinmal eine Additionstabelle anfertigst, die ebenfalls den Körperaxiomen (bzw. den Gruppenaxiomen für die Addition) genügt.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> der Körper, den du laut dem Hinweis betrachten sollst,
> besteht ja gerade aus den Zahlen von 0 bis 3. Und bei den
> beteilgten Rechenoperationen dürfen nur Ergebnisse
> resultieren, die aus dieser Menge stammen. Das nennt man
> Abgeschlossenheit.
>
> Ist dir eigentlich so grob klar, mit was du da arbeitest,
> wenn du von einem Körper sprichst?
Ja, is mir grob klar.
Kenne das ganze aber bis jetzt nur mit dem modulo operator.
Mein Problem ist, dass ich nicht weis, wie ich [mm] n=2^{k} [/mm] im Bezug auf die Aufgabenstellung verwenden soll.
> Ich denke, es wäre
> gut, wenn du dir zunächst nochmal die Definition eines
> Körpers anschaust und dann ersteinmal eine
> Additionstabelle anfertigst, die ebenfalls den
> Körperaxiomen (bzw. den Gruppenaxiomen für die Addition)
> genügt.
Dazu müsste ich dieses [mm] n=2^{k} [/mm] verwenden. Weis ja aber nicht wie...
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
nein: du hast die Aufgabenstellung völlig falsch verstanden. Du sollst nur solche Mengen M betrachten, bei denen n eine Zweierpotenz ist. Der Witz daran ist eben, dass es endliche Körper dieser Ordnungen gibt, aber sie lassen sich für k>1 nicht durch die angegebene Menge M darstellen. Für k=2 => n=4 könntest du mit der Menge [mm] \{0,1,a,a+1\} [/mm] einen Körper der Ordnung 4 darstellen, nicht aber mit den Zahlen von 0 bis 3, zumindest nicht, wenn deren 'normales Verhalten' hinsichtlich der Addition übernommen wird.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> nein: du hast die Aufgabenstellung völlig falsch
> verstanden. Du sollst nur solche Mengen M betrachten, bei
> denen n eine Zweierpotenz ist.
OK.
Dann schaut die Multiplikationstabelle für k=2 [mm] \Rightarrow [/mm] n=4:
* 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
so aus.
Die Additionstabelle:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
> Der Witz daran ist eben,
> dass es endliche Körper dieser Ordnungen gibt, aber sie
> lassen sich für k>1 nicht durch die angegebene Menge M
> darstellen. Für k=2 => n=4 könntest du mit der Menge
> [mm]\{0,1,a,a+1\}[/mm] einen Körper der Ordnung 4 darstellen, nicht
> aber mit den Zahlen von 0 bis 3, zumindest nicht, wenn
> deren 'normales Verhalten' hinsichtlich der Addition
> übernommen wird.
Versteh das Problem, welches dieses [mm] n=2^{k} [/mm] hervorbringt leider noch nicht so ganz.
Ein Körper ist doch definiert, wenn in ihm die neutralen Elemente der Addition (0), bzw. multiplikation (1) enthalten sind.
Das ist doch hier in Beiden Fällen der Fall?
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
deine beiden Tabellen sind jetzt richtig. Aber das mit der Definition von Körpern schlägst du am besten nochmal nach, Stichwort: ![[]](/images/popup.gif) Körperaxiome
Gruß, Diophant
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Ok!
Dass Problem liegt also daran, das 2 für n=4 in meinem körper kein multiplikatives Inverses besitzt?!
Wäre n=5
* 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Hätte ich in jeder Spalte mein Inverses Element. (1)
also:
a=1 [mm] a^{-1}=1
[/mm]
a=2 [mm] a^{-1}=3
[/mm]
a=3 [mm] a^{-1}=2
[/mm]
a=4 [mm] a^{-1}=4
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo,
wenn ich nichts übersehen habe, stimmt das jetzt alles. Die Menge M ist ja im Prinzip nichts anderes als eine Restklassenmenge modulo z. Die ist bekanntlich bezüglich der Addition immer eine Gruppe, aber bei der Multiplikation klappt es eben nur für n prim. Daher der Erfolg mit n=5.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Do 19.05.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Dankeschön! ;)
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