Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo alle miteinander,
ich hab da eine Frage unzwar gibt es einen Körper mit genau 4 Elementen ?
Wir haben in der Vorlesung einen Körper wie folgt definiert:
[mm] ( \IK ,+, \* ) [/mm] heißt Körper [mm] : \gdw [/mm]
(1) [mm] ( \IK ,+, \* ) [/mm] Ring
(2) [mm] ( \IK^{*}, \* ) [/mm] Gruppe
(3) [mm] \* [/mm] kommutativ
Danke für eure Antworten. Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 03.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo Toyo
soweit ich weis,gibt nur ein 4 ELEMENTIGE KÖRPER. Das findest du unter
http://www-hm.ma.tum.de/archiv/in1/ws0001/folien/folie37.pdf
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo,
sorry aber werde daraus nicht schlau, dort wird nur erklärt,dass es zu jedem nicht reduzieblen Polynom einen Körper gibt. Aber dort ist nicht erklärt wieviele Elemente der dann hat.
Hat vielleicht noch jemand anders eine Idee zu der Frage?
Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
ja es gibt einen Körper mit 4 Elementen. Ich schätze du kennst den Körper mit den Elementen 0 und 1. Einen Körper mit 4 Elementen konstruierst du indem du noch 2 Elemente dazunimmst und mit ihnen die Körperaxiome nachweißt.
Wir nehmen hier mal die Elemente x und y (2 und 3 verwechselt man zu schnell mit den Zahlen die du bis jetzt kanntest). Als nächsten Schritt erweiterst du die Additions- und Multiplikationstabelle mit den neuen Elementen. Leider weiß ich nicht wie man hier Tabellen schreibt wird also etwas unschön:
0+0=0
1+0=1=0+1
1+1=0
0*0=0*1=1*0=0
1*1=1
soweit geht der Körper mit 2 Elementen. Ich gehe bei meiner Antwort mal davon aus, dass du weißt warum 1+1=0 ist und damit der Körper die Charakteristik 2 besitzt. Wenn nicht kann ich dir dies auch noch erläutern.
Jetzt zu der Additionstabelle mit 4 Elementen:
Spalte
1 2 3 4
0+0=0 0+1=1 0+x=x 0+y=y Zeile 1
1+0=1 1+1=0 1+x=? 1+y=? Zeile 2
x+0=x x+1=? x+x=? x+y=? Zeile 3
y+0=y y+1=? y+x=? y+y=? Zeile 4
Jetzt stellt sich die Frage was bei den Fragezeichen steht. Es muss natürlich ein Element vom Körper sein also kann man die Fragezeichen folgendermaßen erschließen.
1+x=1 falsch da [mm] x\not=0
[/mm]
1+x=0 falsch da aus 1+1+x=1 x=1 folgen würde und [mm] x\not=1
[/mm]
1+x=x falsch da [mm] 1\not=0
[/mm]
bleibt also nur noch 1+x=y
Dieses Spiel betreibt man noch bei den anderen Fragezeichen und kommt dann auf folgende Ergebnisse:
1+y=x
x+x=y+y=0
x+y=1
So nun zu Multiplikationstabelle:
1 2 3 4
0*0=0 0*1=0 0*x=0 0*y=0 Zeile 1
1*0=0 1*1=1 1*x=x 1*y=y Zeile 2
x*0=0 x*1=x x*x=? x*y=? Zeile 3
y*0=0 y*1=y y*x=? y*y=? Zeile 4
x*x=0 falsch da [mm] x\not=0
[/mm]
x*x=1 falsch da x nicht invers zu sich selbst
x*x=x falsch da x [mm] \not=1
[/mm]
also ist x*x=y also auch y*y=x und y*x=1
Jetzt hast du einen Körper mit 4 Elementen. Ich hoffe du verstehst es so ungefähr.
Beantworte gerne noch weitere Fragen.
Gruß Shaguar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Shaguar,
danke für deine Erklärung, die hat mir sehr geholfen, aber es gibt zwei Dinge die ich dich dazu noch fragen wollte.
Zum einen, was ist ein Körper der die Charakteristik 2 hat (1+1=0 ???)
Und meine zweite Frage wäre wieviele Körper mit 4 Elementen gibt es?
Ist der, den du mir "gezeigt" hast der einzige???
Gruß Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Hallo Toyo,
woher habe ich nur gewußt, dass du diese Frage stellen wirst? Ich habe sie mir letzte Woche die ganze Zeit auch gestellt.
Also in Körpern ist 0 und 1 nicht ganz die 0 und 1 wie du sie aus der alten Mathematik kennst. Das Clou beim rechnen mit Körpern ist die Charakteristik. Die Charakteristik eines Körpers ist 0, wenn 1+1+1+1+...+1 nie 0 wird, wie man es eigentlich gewöhnt ist. Aber Körper sind halt etwas neu ausgedachtes und wenn 1+1=0 ist dann ist die Charakteristik 2 (1+1). Die Charakteristik ist entweder 0 oder eine Primzahl, dafür gibts nen genialen Beweis den ich leider nicht verstanden habe aber ich habs halt so hingenommen. Was wichtig bei der Charakteristik ist, ist, dass du jede 2, die du irgendwie errechnen würde sofort mit einer 0 ersetzen musst. Wenn du in einem Körper der Charakteristik 2 zum 1+1+1 rechnest kommt da 1 raus weil 1+1+1=0+1=1 ist.
Es ist der einzige Körper mit 4 Elementen. Ja und nein du kannst ja deine Elemente ganz beliebig wählen, statt 0,1,x,y kannst du auch blubb,bu,hi,hu sagen. Wenn du dass machst klingt es vielleicht auch nicht mehr komisch, dass bu+bu=blubb ist?!?! Es kommt auf die Rechenregeln im Körper an zb. Inverses Element und Nullelement...
Das ist alles schwierig zu erklären für mich als Mathestudent in der 3. Woche jedenfalls. Mein Tipp warte vielleicht noch eine Vorlesung ab oder schau in das Script von deinem Professor. Meiner hat leider keins aber wenn du ein bisschen googelst findest du haufenweise, in denen dass eigentlich ganz gut erklärt ist. Vielleicht hilft dein Tutor dir ja auch weiter.
Ganz wichtig ist allerdings, dass dieser Beitrag bestimmt viele viele ärgern würde, wenn sie ihn lesen weil bestimmt tausende von Formfehlern drin sind oder ähnliches. Ich hab das aber trotzdem mal so aufgeschrieben, weil man dadurch nen leichteren Einstieg bekommt. Ich denke, dass diese banalen Formulierungen einfacher zu verstehen sind als Fachchinesisch.
Gruß Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 07.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ich finds herrlich wie du das alles erklärt hast. Hut ab, nach drei Wochen Studium... Also ich bin nach drei Wochen noch nicht soweit und darum danke ich dir für die "Körpererklärung" , die ich endlich und zum ersten mal verstanden habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 07.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Shaguar und alle anderen, ich habe eine Frage zu Deiner Erklärung unzwar sieht bei dir die Multiplikation so aus, dass
1*0=0
2*0=0
[...]
Ich weiß nicht genau wie ein Körper bei Dir definiert ist, aber wir haben ihn wiefolgt definiert:
(M,+,*) Muss ein Ring sein
und (M,*) muss eine kommuative Multiplikative Gruppe sein
Nach deiner Multiplikationstabelle würde dann aber in der ersten Zeile und ersten Spalte der Gruppentafel nur Nullen stehen,was ein Widerspruch dazu ist, dass in einer Gruppentafel in jeder Spalte und Zeile jedes Element genau einmal vorkommt? Demnäch wäre deine Multiplikation keine Gruppe oder?
Kann mir das einer erklären?
Gruß Toyo
PS: Vielen Dank schonmal
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