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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass in einen K¨orper gilt 1 + 1 = 0 genau dann
wenn 1 + 1 + 1 + 1 = 0.
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ich weiß nicht was hier damit anfangen soll ,dann die hab ich versucht mit körperaxiomen versucht zu beweisen ,bin aber nicht zu den resultat gekommen.
kann mir einer das zeigen wie man bei einer solchen aufgabe rangeht?
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Aloha hé Decehakan, und willkommen im Matheraum / bei Vorhilfe,
Deine Aufgabe bedeutet - rein vom Vorgehen - dass zu zwei Dinge zeigen sollst:
Im Körper gilt: [tex] 1 + 1 = 0 \gdw 1 + 1 + 1 + 1 = 0 [/tex]. Du hast also zwei "Richtungen zu zeigen".
Eine kurze Anleitung (vielleicht bringt dich das ja schon mal auf die richtige Spur):
[tex] \Rightarrow [/tex] : Wenn 1 + 1 = 0 gilt in einem Körper gilt, kannst du gewiss auch die Körperaxiome ausnutzen. Es ist die zum Beispiel erlaubt, eine Nulladdition zu machen bzgl. der Verkünpfung "+" (bzgl. dieser Verknüpfung liegt im Körper ja eine kommutative Gruppe vor). Du hast also: 1 + 1 + 0 = 0. Nach Voraussetzung kannst du nun schreiben: 1 + 1 + (1 + 1) = 0. Aufgrund der restlichen Eigenschaften eines Körpers bzgl. der Addition (du solltest dir natürlich noch überlegen, welche das sind, und dies auch vermerken), darfst du die Klammern dann weglassen.
Somit hättest du die "eine" Richtung schonmal gezeigt!
Die andere Richtung wird etwas schwerer:
[tex] \Leftarrow [/tex] An dieser Stelle scheint es zunächst offensichtlich zu sein, allerdings fehlt ein passendes Argument. Ich weiß nicht, wie weit ihr in der Algebra/Zahlentheorie bislang gekommen seid... aber eventuell sagt dir der Begriff "Nullteilerfreiheit" ja etwas?
Bekannterweise handelt es sich bei dem Körper, der nur 0 und 1 enthält gerade um [tex] \IZ_{2} [/tex]. Ferner beweist man ja in der Algebra/Zahlentheorie, dass [tex] \IZ_{p} [/tex] ein Körper ist genau dann wenn p eine Primzahl ist. Nunja... angenommen es würde gelten [tex] 1 + 1 + 1 + 1 = 0 [/tex] aber nicht [tex] 1 + 1 = 0 [/tex]. Dann hieße das, dass [tex] \IZ_{4} [/tex] ein Körper wäre. Dies ist aber nicht möglich, da 4 keine Primzahl ist. Wenn du dies beweisen kannst (was nach einem Blick auf den Beweis des obigen Satzes in deinem Skript klappen sollte) bist du fertig - voilà: ein Beweis durch Widerspruch.
Namárie,
sagt ein Lary, wo dir dabei viel Spaß wünscht
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warum gilt den in einem körper 1+1=0 ich find kein axiom wo das gilt ....nach welchem axiomden ?
und wie beweis ich ein widerspruch zu 1+1+1+1=0
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> warum gilt den in einem körper 1+1=0 ich find kein axiom wo
> das gilt ....nach welchem axiomden ?
Hallo,
ich glaube, Du hast nicht verstanden, worum es geht.
Niemand behauptet in der Aufgabe, daß in Körpern generell 1+1=0 gilt.
Die Behauptung ist:
1. WENN man einen Körper hat, in welchem 1+1=0 gilt, DANN folgt 1+1+1+1=0.
2. WENN man einen Körper hat, in welchem 1+1+1+1=0 gilt, DANN folgt 1+1=0.
Ich habe jetzt nicht herausfinden können, wie weit Deine Bemühungen gediehen sind.
Wie laryllan sagt, ist 1. sehr einfach, das kannst Du bestimmt allein.
Sein Beweis zu 2 ist verkehrt,
Du kannst das aber in der Tat per Widerspruch beweisen.
Nimm an, daß Du einen Körper hast mit 1+1+1+1=0 und [mm] 1+1\not=0.
[/mm]
Nun nutzt Du Körpereigenschaften aus.
A. [mm] 1+1\not=0 [/mm] ==> 1+1 hat ein inverses Element [mm] (1+1)^{-1}.
[/mm]
B. Es ist 1+1+1+1=(1+1)+(1+1), also 0=(1+1)+(1+1)
C. 0*a=0 für alle a.
Nun multipliziere 0=(1+1)+(1+1) unter Ausnutzung des Distibutivgesetzes mit [mm] (1+1)^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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was ich aber allerdings nicht verstehe ich ,warum gilt in einem körper 1+1=0 es sind K={0 ,1 }
ich weiß nach dem ersten Gruppenvorschrift ,dass wenn a b e G sind ,dann gilt a+b=c und c e C
das muss ja heißen wenn K ,die Elemente 0 und 1 hat , heißt es ja 1+1=2 und nicht 0 :( ???hilfe ? das macht mich irre :)
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> was ich aber allerdings nicht verstehe ich ,warum gilt in
> einem körper 1+1=0 es sind K={0 ,1 }
Wenn Du einen Korper hast, welcher nur zwei Elemente hat, muß das so sein.
Du mußt hier 0 und 1 nicht als Zahlen lesen, sondern als Sybole für das neutrale Element bzgl. + (=0) und das neutrale Element bzgl. * (=1).
1+1=0 ergibt sich daraus, daß dieser Mini-Körper eine Gruppe bzgl. + sein muß.
>
> ich weiß nach dem ersten Gruppenvorschrift ,dass wenn a b
> e G sind ,dann gilt a+b=c und c e C
Wenn a,b beide in der Gruppe G liegen, muß [mm] a+b\in [/mm] G sein.
Darüber, wie a+b aussieht, wissen wir zunächst nichts. Da müßten wir die Verknüpfung kennen.
>
> das muss ja heißen wenn K ,die Elemente 0 und 1 hat ,
> heißt es ja 1+1=2 und nicht 0 :( ???hilfe ? das macht mich
> irre :)
Wie gesagt, lies 0 und 1 nicht als Zahlen. Vielleicht wäre es hilfreich, stattdessen n und e zu schreiben.
1+1=2 macht nur Sinn, wenn eine 2 erklärt ist und zur Verfügung steht. In [mm] K=\{0,1\} [/mm] gibt es keine 2.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Decehakan |
Danke Angela für deine bemühung und Sehr sehr guten tipps,möge gott dir ein barmherzigen junge und alles glückliche auf der erden geben :)
denn => ((1+1)+(1+1))*(1+1)^-1=1+1=0 :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 06.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Eine kleine Bemerkung meinerseits:
Es gibt durchaus auch andere Körper als [mm] \IZ_2 [/mm] für die 1+1=0 gilt. Soweit ich mich erinnern kann gibt es auch einen Körper mit 4 Elementen - allerdings ist das eben nicht [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] sondern irgendwas anderes...
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> Nunja... angenommen es
> würde gelten [tex]1 + 1 + 1 + 1 = 0[/tex] aber nicht [tex]1 + 1 = 0 [/tex]. Dann
> hieße das, dass [tex]\IZ_{4}[/tex] ein Körper wäre.
Hallo,
diesem Schluß kann ich nicht folgen.
Es ist doch ein Körper vorausgesetzt, in welchem 1 + 1 + 1 + 1 = 0 gilt.
Deshalb hat [mm] \IZ_4 [/mm] hier doch von vornherein nichts verloren.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 20:58 Mo 07.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hmm, irgendwie kann man hier nicht einfach so eine Mitteilung schreiben, ohne eine Bewertung abzugeben. Deswegen hab ich mal `kein Fehler gefunden' angekreuzt, weil es am besten passt (auch wenn es nicht ganz der Wahrheit entspricht)...
> > Nunja... angenommen es
> > würde gelten [tex]1 + 1 + 1 + 1 = 0[/tex] aber nicht [tex]1 + 1 = 0 [/tex]. Dann
> > hieße das, dass [tex]\IZ_{4}[/tex] ein Körper wäre.
>
> Hallo,
>
> diesem Schluß kann ich nicht folgen.
>
> Es ist doch ein Körper vorausgesetzt, in welchem 1 + 1 + 1 + 1 = 0 gilt.
> Deshalb hat [mm]\IZ_4[/mm] hier doch von vornherein nichts verloren.
Doch, allerdings nicht wirklich direkt (sprich, dieser Weg verwirrt den OP mehr als er ihm nuetzt): Wenn in $K$ zwar $1 + 1 + 1 + 1 = 0$ gilt, aber nicht $1 + 1 = 0$, so wird der Kern des kanonischen Ringhomomorphismus [mm] $\IZ \to [/mm] K$ von $4$ erzeugt, womit [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] isomorph zu einem Unterring von $K$ ist (nach dem Homomorphiesatz). Da $K$ ein Koerper ist und [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] ein endlicher Unterring, muesste [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] demnach ein Unterkoerper sein, was er aber definitiv nicht ist.
Das ist allerdings nur eine recht komplizierte Moeglichkeit zu sagen, dass $1 + 1 + 1 + 1 = 0$ und $1 + 1 [mm] \neq [/mm] 0$ einen Nullteiler [mm] $\neq [/mm] 0$ in $K$ liefert, was einen Widerspruch ergibt. :)
LG Felix
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 23:53 Mo 07.05.2007 | | Autor: | laryllan |
Aloha felix und angela,
Ja, da habt ihr beide natürlich recht. War vielleicht etwas arg verkürzend. War eben der Gedanke, der mir beim Lesen der Aufgabe als erstes in den Zinn kam. Mag auch daran liegen, dass ich mich aktuell wieder vermehrt mit Algebra/Zahlentheorie beschäftige (bzw. gerade wenige Stunden davor mit einem ähnlichen Thema).
Angelas Weg über die Körperaxiome ist deutlich eleganter, will heißen: weniger umständlich. Ich hätte meine Antwort schon etwas mehr auf die Bedürfnisse des Fragenstellers anpassen sollen. Dennoch wird er seinen Nutzen aus der daraus resultierten Diskussion hier gezogen haben... hoffe ich :)
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterhuscht
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