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| Aufgabe | | Man schreibe [mm] \bruch{1}{1+2\wurzel[5]{3}-\wurzel[5]{3}^{6}}\in\IQ(\wurzel[5]{3}) [/mm] als Linearkombination der Basiselemente! |
Hallo,
in der Aufgabe vorher habe ich gezeigt, dass [mm] \{1,\wurzel[5]{3},...,\wurzel[5]{3}^{4}\} [/mm] eine Basis von [mm] \IQ(\wurzel[5]{3}):\IQ [/mm] ist. Der Tipp war nun, einen Koeffizientenvergleich zu machen. Ich denke mal, also Lösungen [mm] a_{1}...a_{5} [/mm] für die Darstellung
[mm] \bruch{1}{1+2\wurzel[5]{3}-\wurzel[5]{3}^{6}}=a_{1}+a_{2}\wurzel[5]{3}+a_{3}\wurzel[5]{3}^{2}+a_{4}\wurzel[5]{3}^{3}+a_{5}\wurzel[5]{3}^{4}
[/mm]
zu finden. Ich weiß jetzt nicht so recht, wie man da einen Koeffizientenvergleich machen soll. Hat jemand von euch ne Idee oder vielleicht ne ganz andere Möglichkeit, das zu lösen?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 26.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Daniel
> Man schreibe
> [mm]\bruch{1}{1+2\wurzel[5]{3}-\wurzel[5]{3}^{6}}\in\IQ(\wurzel[5]{3})[/mm]
> als Linearkombination der Basiselemente!
> Hallo,
>
> in der Aufgabe vorher habe ich gezeigt, dass
> [mm]\{1,\wurzel[5]{3},...,\wurzel[5]{3}^{4}\}[/mm] eine Basis von
> [mm]\IQ(\wurzel[5]{3}):\IQ[/mm] ist. Der Tipp war nun, einen
> Koeffizientenvergleich zu machen. Ich denke mal, also
> Lösungen [mm]a_{1}...a_{5}[/mm] für die Darstellung
>
> [mm]\bruch{1}{1+2\wurzel[5]{3}-\wurzel[5]{3}^{6}}=a_{1}+a_{2}\wurzel[5]{3}+a_{3}\wurzel[5]{3}^{2}+a_{4}\wurzel[5]{3}^{3}+a_{5}\wurzel[5]{3}^{4}[/mm]
völlig richtig. jetzt mit dem Nenner multiplizieren und dann ist der koeffizientenvergleich einfach.
was ich nicht versteh, ist der Nenner [mm] :1+2\wurzel[5]{3}-\wurzel[5]{3}^{6}
[/mm]
ist doch einfach [mm] 1-\wurzel[5]{3}, [/mm] denn [mm] \wurzel[5]{3}^{6}=3*\wurzel[5]{3}.
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo leduart,
zunächst mal danke für deine Antwort. Ich habe jetzt mit [mm] 1-\wurzel[5]{3} [/mm] multipliziert. Dann kriege ich mit allen Vereinfachungen
[mm] 1=a_{1}(1-\wurzel[5]{3})+a_{2}\wurzel[5]{3}(1-\wurzel[5]{3})+a_{3}\wurzel[5]{3}^{2}(1-\wurzel[5]{3})+a_{4}\wurzel[5]{3}^{3}(1-\wurzel[5]{3})+a_{5}\wurzel[5]{3}^{4}(1-\wurzel[5]{3})
[/mm]
Und wie kann ich daraus jetzt die Koeffizienten bestimmen? Ich verstehe das noch nicht so ganz! Kannst du mir noch mal auf die Sprünge helfen?
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Fr 27.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Daniel
leider hast du falsch ausmult. du musst nach den basisvektoren zusammenfassen:
1*(a1-3a5) + [mm] \wurzel[5]{3}(a2-a1) [/mm] +....usw. ich hoff ich hab den Anfang richtig.
damit dann 1=a1-3a5 ; 0=a2-a1; usw. 0=Faktor von allen Basen ausser 1
> [mm]1=a_{1}(1-\wurzel[5]{3})+a_{2}\wurzel[5]{3}(1-\wurzel[5]{3})+a_{3}\wurzel[5]{3}^{2}(1-\wurzel[5]{3})+a_{4}\wurzel[5]{3}^{3}(1-\wurzel[5]{3})+a_{5}\wurzel[5]{3}^{4}(1-\wurzel[5]{3})[/mm]
Gruss leduart
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Hi leduart,
danke. Das mit der 1 schien mir irgendwie zu einfach, aber klar. Das ist ja eine nichttriviale Linearkombination!
Viele Grüße
Daniel
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