Koeffizienten Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 12.12.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie die ersten fünf Koeffizienten der Potenzreihe um $0$ von
[mm] $f:=\left\{z\in\mathbb{C}|\ |Im\ z| <\pi\right\}\to\mathbb{C},\ f(z)=\ln (1+e^z).$
[/mm]
(b) Bestimmen Sie den genauen Konvergenzradius der Potenzreihe aus (a). |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe vielleicht eine etwas dumme Frage: kann ich die Koeffizienten nicht einfach als Taylorkoeffizienten [mm] $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ [/mm] über die Ableitungen von $f$ bestimmen, wobei [mm] $(\ln)'=\frac{1}{z}$ [/mm] gilt?
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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Betrachtet man die Ersatzfunktion
[mm]g(z) = \ln \left( 1 + \operatorname{e}^z \right) - \ln 2 - \frac{1}{2} z[/mm]
so findet man als ihre Ableitung
[mm]g'(z) = \frac{\operatorname{e}^z}{1 + \operatorname{e}^z} - \frac{1}{2} = \frac{\operatorname{e}^z - 1}{2 \left( \operatorname{e}^z + 1 \right)} = \frac{\operatorname{e}^{\frac{z}{2}} - \operatorname{e}^{- \frac{z}{^2}}}{2 \left(\operatorname{e}^{\frac{z}{2}} + \operatorname{e}^{- \frac{z}{^2}} \right)} = \frac{1}{2} \tanh \frac{z}{2}[/mm]
und es gilt: [mm]g(0) = g'(0) = 0[/mm]
[mm]g'[/mm] ist eine ungerade Funktion, daher folgt [mm]g^{(1)}(0) = g^{(3)}(0) = g^{(5)}(0) = \ldots = 0[/mm]. Für die Taylorreihe von [mm]g'[/mm] braucht man also nur noch die Ableitungen gerader Ordnung von [mm]g[/mm].
Nun gilt: [mm]g''(z) = \frac{1}{4} \left( 1 - \tanh^2 \frac{z}{2} \right)[/mm]
Daher gehorcht [mm]g'[/mm] der Differentialgleichung
[mm]g'' = \frac{1}{4} - g'^{\, 2}[/mm]
Durch Differenzieren folgt hieraus:
[mm]g''' = - 2 g' g'' = -2 g' \left( \frac{1}{4} - g'^{\, 2} \right) = 2g'^{\, 3} - \frac{1}{2} g'[/mm]
[mm]g^{(4)} = 6 g'^{\, 2} g'' - \frac{1}{2} g'' = -6 g'^{\, 4} + 2 g'^{\, 2} - \frac{1}{8}[/mm]
Wegen [mm]g'(0) = 0[/mm] folgt daraus: [mm]g''(0) = \frac{1}{4} \, , \ \ g^{(4)}(0) = - \frac{1}{8}[/mm]
Damit hat man den Anfang der Taylorreihe von [mm]g[/mm]:
[mm]g(z) = \frac{1}{4 \cdot 2!} z^2 - \frac{1}{8 \cdot 4!} z^4 + \ldots[/mm]
Und hieraus folgt:
[mm]\ln \left( 1 + \operatorname{e}^z \right) = \ln 2 + \frac{1}{2} z + \frac{1}{8} z^2 - \frac{1}{192} z^4 + \ldots[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mi 17.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> (a) Bestimmen Sie die ersten fünf Koeffizienten der
> Potenzreihe um [mm]0[/mm] von
> [mm]f:=\left\{z\in\mathbb{C}|\ |Im\ z| <\pi\right\}\to\mathbb{C},\ f(z)=\ln (1+e^z).[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie den genauen Konvergenzradius der
> Potenzreihe aus (a).
> Hallo zusammen,
>
> habe bei dieser Aufgabe vielleicht eine etwas dumme Frage:
> kann ich die Koeffizienten nicht einfach als
> Taylorkoeffizienten [mm]\frac{f^{(n)}(0)}{n!}[/mm] über die
> Ableitungen von [mm]f[/mm] bestimmen, wobei [mm](\ln)'=\frac{1}{z}[/mm]
> gilt?
Natürlich kannst Du das.
FRED
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> Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
> Gregor
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