Koeff. von Splines bestimmen < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Funktion sei durch folgende Werte gegeben:
xi
0 3 6 10
yi
10 9 5 0
Stellen sie die Funktion als kubischen Spline dar:
(a) Stellen Sie das Lineare Gleichungssystem aus der Vorlesung auf und lösen Sie es.
(b) Bestimmen Sie daraus je Intervall die Polynomkoeffizienten. Wie lautet also die stückweise definierte Interpolationsfunktion? |
Wie bekomme ich jetzt die Koeffizienten des Polynoms?
Aus den Ableitungsregeln für Polynome erhält man wohl:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] y_{k-1}
[/mm]
[mm] b_{k} [/mm] = [mm] (\bruch{y_{k}-y_{k-1}}{h_{k}}) [/mm] - [mm] (\bruch{1}{6}*h_{k} [/mm] * [mm] (m_{k} [/mm] + [mm] 2*m_{k-1}))
[/mm]
[mm] c_{k} [/mm] = usw.
Jetzt geht's bei [mm] b_{k} [/mm] schon los:
k geht von 1 bis n.
Wenn ich [mm] b_{1} [/mm] berechnen will müßte ich am Ende der Gleichung [mm] m_{0} [/mm] einsetzen, daß es allerdings nicht gibt.
Wie komme ich also auf die Koeffizienten?
Dank im voraus!
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Hallo!
> Eine Funktion sei durch folgende Werte gegeben:
> xi
> 0 3 6 10
>
> yi
> 10 9 5 0
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> Stellen sie die Funktion als kubischen Spline dar:
> (a) Stellen Sie das Lineare Gleichungssystem aus der
> Vorlesung auf und lösen Sie es.
> (b) Bestimmen Sie daraus je Intervall die
> Polynomkoeffizienten. Wie lautet also die stückweise
> definierte Interpolationsfunktion?
> Wie bekomme ich jetzt die Koeffizienten des Polynoms?
> Aus den Ableitungsregeln für Polynome erhält man wohl:
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm]y_{k-1}[/mm]
> [mm]b_{k}[/mm] = [mm](\bruch{y_{k}-y_{k-1}}{h_{k}})[/mm] -
> [mm](\bruch{1}{6}*h_{k}[/mm] * [mm](m_{k}[/mm] + [mm]2*m_{k-1}))[/mm]
> [mm]c_{k}[/mm] = usw.
>
> Jetzt geht's bei [mm]b_{k}[/mm] schon los:
> k geht von 1 bis n.
> Wenn ich [mm]b_{1}[/mm] berechnen will müßte ich am Ende der
> Gleichung [mm]m_{0}[/mm] einsetzen, daß es allerdings nicht gibt.
>
> Wie komme ich also auf die Koeffizienten?
Also ich blicke da durch deine Koeffizienten nicht so ganz durch. Bei uns heißen die Dinger, die ich berechnen muss, [mm] \lambda_j, \mu_j [/mm] und [mm] d_j, [/mm] und das LGS sieht nachher so aus:
[mm] \pmat{2&\lambda_0& & & &0\\\mu_1&2&\lambda_1& & & \\ & \mu_2 & \cdots& & \\ \ddots\\ & & & &\mu_n&2}\vektor{M_0\\M_1\\\vdots\\M_n}=\vektor{d_0\\d_1\\\vdots\\d_n}
[/mm]
(Naja, so ungefähr, sorry für die Schreibweise...)
Jedenfalls hatte ich beim Berechnen ein ähnliches Problem wie du. Schau doch mal in ein gutes Buch (z. B. den Stoer), da müsste irgendwo eine quasi Anfangsbedingung stehen. Denn die ersten Elemente kannst du natürlich nicht mit solch einer Rekursionsformel berechnen. Bei natürlichen Randbedingungen gilt z. B. [mm] \lambda_0=0, d_0=0, \mu_n=0, d_n=0. [/mm] Ich glaube, in der Vorlesung hatte der Prof das bei uns vergessen, deswegen wusste ich auch erstmal nicht weiter. Aber im Buch hab's ichs dann irgendwann gefunden. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 04.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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