Kleinstes Element einer Menge < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.Sei [mm] a\in [/mm] G. Sei [mm] M:=\{ n \in \IN_{>0} | a^{n} = e\} [/mm] und [mm] n_{min} [/mm] das minmale Element von M. Beweisen Sie, dass für alle m [mm] \in [/mm] M ein [mm] k_{m} \in \IN [/mm] existiert mit m = [mm] k_{m}*n_{min}. [/mm] |
Guten Tag,
habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm] \in [/mm] M, so dass für alle [mm] k_{m} \in \IN: [/mm] m' [mm] \not= k_{m}*n_{min}. [/mm] Dann gilt für ein [mm] k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min} [/mm] > m > [mm] k_{m}*n_{min} \Rightarrow
[/mm]
[mm] n_{min} [/mm] > m - [mm] k_{m}*n [/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
[mm] a^{m-k_{m}*n} [/mm] = e. Somit wäre [mm] n_{min} [/mm] nicht das kleinste Element aus M. Stimmt das so?
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Du solltest vielleicht noch spendieren:
G ist eine Gruppe mit dem neutralen Element e
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh, ja das habe ich komplett vergessen zu notieren.Danke. Stimmt mein Lösungsweg denn?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine endliche Gruppe mit neutralem Element e.Sei [mm]a\in[/mm]
> G. Sei [mm]M:=\{ n \in \IN_{>0} | a^{n} = e\}[/mm] und [mm]n_{min}[/mm] das
> minmale Element von M. Beweisen Sie, dass für alle m [mm]\in[/mm] M
> ein [mm]k_{m} \in \IN[/mm] existiert mit m = [mm]k_{m}*n_{min}.[/mm]
>
>
> Guten Tag,
>
> habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes
> gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm]\in[/mm] M, so dass für alle
> [mm]k_{m} \in \IN:[/mm] m' [mm]\not= k_{m}*n_{min}.[/mm] Dann gilt für ein
> [mm]k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min}[/mm] > m > [mm]k_{m}*n_{min}
Das verstehe ich nicht, wieso ? ist m=m' ?????
> \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]n_{min}[/mm] > m - [mm]k_{m}*n[/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
> [mm]a^{m-k_{m}*n}[/mm] = e. Somit wäre [mm]n_{min}[/mm] nicht das kleinste
> Element aus M. Stimmt das so?
Nein.Ich setze [mm] n_0:=n_{min}
[/mm]
Sei m [mm] \in [/mm] M. Dann ist m [mm] \ge n_0. [/mm] Es ex. ein k [mm] \in \IN [/mm] und ein l [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $m=k*n_0+l$ [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] l< [mm] n_0.
[/mm]
Es folgt: [mm] $e=a^m= a^{k*n_0}*a^l$
[/mm]
Warum ist [mm] $a^{k*n_0}=e$ [/mm] ? Und warum folgt dann l=0 ?
FRED
>
> LG Loriot95
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Do 14.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> >
> > Guten Tag,
> >
> > habe mich an dieser Aufgabe versucht. Habe dabei folgendes
> > gemacht: Angenommen es gibt ein m' [mm]\in[/mm] M, so dass für alle
> > [mm]k_{m} \in \IN:[/mm] m' [mm]\not= k_{m}*n_{min}.[/mm] Dann gilt für ein
> > [mm]k_{m}: (k_{m}+1)*n_{min}[/mm] > m > [mm]k_{m}*n_{min}
Das verstehe ich nicht, wieso ? ist m=m' ?????
Weil ich mich da verschrieben habe.
> \Rightarrow[/mm]
>
> >
> > [mm]n_{min}[/mm] > m - [mm]k_{m}*n[/mm] > 0. Was ein Widerspruch ist, denn
> > [mm]a^{m-k_{m}*n}[/mm] = e. Somit wäre [mm]n_{min}[/mm] nicht das
> kleinste
> > Element aus M. Stimmt das so?
>
>
> Nein.Ich setze [mm]n_0:=n_{min}[/mm]
>
> Sei m [mm]\in[/mm] M. Dann ist m [mm]\ge n_0.[/mm] Es ex. ein k [mm]\in \IN[/mm] und
> ein l [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]m=k*n_0+l[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] l< [mm]n_0.[/mm]
>
> Es folgt: [mm]e=a^m= a^{k*n_0}*a^l[/mm]
>
> Warum ist [mm]a^{k*n_0}=e[/mm] ? Und warum folgt dann l=0 ?
[mm] a^{k*n_{0}}= (a^{n_{0}})^{k} [/mm] = [mm] e^{k} [/mm] = e. Also ist [mm] a^{l} [/mm] = e. Wenn l kein Vielfaches von [mm] n_{0} [/mm] ist, so kann nur l = 0 sein. [mm] (n_{0} [/mm] ist die kleinste Zahl aus M. und l ist kleiner als [mm] n_{0}).
[/mm]
> FRED
> >
> > LG Loriot95
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Vielen Dank für deine Hilfe.
LG Loriot95
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