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Forum "Zahlentheorie" - Kleinstes Element
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Kleinstes Element: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mi 24.11.2010
Autor: MatheStudi7

Aufgabe
Beweisen Sie: Jede nicht-leere Teilmenge B [mm] \subseteq \IN [/mm] natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.

Hallo,

also laut eines Kommilitonen hätte das etwas mit dem "archimedischen Axiom" zu tun. Diese Axiom hat mir allerdings nicht viel geholfen.

Ich habe mir etwas anderes überlegt:

1. Fall: 1 [mm] \in [/mm] B
Da 1 das kleinste Element in [mm] \IN [/mm] ist, muss es auch das kleinste Element in B sein, da B [mm] \subseteq \IN. [/mm]

2.Fall: 1 [mm] \not\in [/mm] B
A:={a | a [mm] \le [/mm] b, a,b [mm] \in [/mm] B}. Das kleinste Element m [mm] \in [/mm] B für das gilt: m>1 ist das kleineste Element der Menge B.


Stimmt das so? Wenn ja, kann ich nicht einfach schreiben: inf(B) ist kleinstes Element in B?

Danke für eure Hilfe



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kleinstes Element: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mi 24.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Beweisen Sie: Jede nicht-leere Teilmenge B [mm]\subseteq \IN[/mm]
> natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
>  
> also laut eines Kommilitonen hätte das etwas mit dem
> "archimedischen Axiom" zu tun. Diese Axiom hat mir
> allerdings nicht viel geholfen.
>  
> Ich habe mir etwas anderes überlegt:
>  
> 1. Fall: 1 [mm]\in[/mm] B
>  Da 1 das kleinste Element in [mm]\IN[/mm] ist, muss es auch das
> kleinste Element in B sein, da B [mm]\subseteq \IN.[/mm]
>  
> 2.Fall: 1 [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B

>  A:={a | a [mm]\le[/mm] b, a,b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B}. Das kleinste Element m [mm]\in[/mm] B

> für das gilt: m>1 ist das kleineste Element der Menge B.

Damit hast du nicht gezeigt, dass es ein kleinstes Element gibt.

> Stimmt das so? Wenn ja, kann ich nicht einfach schreiben:
> inf(B) ist kleinstes Element in B?

Mit dem Infimum zu arbeiten ist ein guter Ansatz (je nach Vorlesung).

Die Menge $B$ ist offensichtlich nach untenbeschraenkt, also existiert das Infimum. Du musst jetzt zeigen: [mm] $\inf(B) \in [/mm] B$.

Dazu kannst du z.B. benutzen, dass die natuerlichen Zahlen diskret in [mm] $\IR$ [/mm] sind, es also zu jeder natuerlichen Zahl eine Umgebung gibt, in der nur diese Zahl liegt und sonst keine natuerliche Zahl.


Alternativ kannst du auch so vorgehen. Da $B$ nicht leer ist gibt es ein $m [mm] \in [/mm] B$. Jetzt kann es hoechstens $m - 1$ Elemente in $B$ geben, die kleiner sind: $1, 2, [mm] \dots, [/mm] m - 1$.

Setze $B' := B [mm] \cap \{ 1, \dots, m \}$. [/mm] Diese Menge umfasst hoechstens $m$ Elemente, und ein Minimum von $B'$ ist auch eins von $B$ (warum?).

Es reicht also, etwa per Induktion zu zeigen: eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] mit genau $n$ Elementen hat ein Minimum.

Jetzt musst du das nur noch alles in eine gute Reihenfolge bringen und schoen aufschreiben.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Kleinstes Element: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Mi 24.11.2010
Autor: MatheStudi7

Hallo felixf,

ich denke ich werde deinen Alternativvorschlag benutzen, da ich zwar von "Umgebung" schonmal etwas gehört habe, wir das aber in der Vorlesung noch nicht benutzt haben.


Ciao

Bezug
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