Kleinste Sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mi 25.07.2012 | | Autor: | Dicen |
| Aufgabe | i) Wir betrachten die Menge Ω = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} und die folgenden Zufallsvariablen
(a) X(ω) = 2ω.
(b) X(ω) = ω 2 .
(c) X(ω) = |ω| + 2.
Bestimmen Sie jeweils die kleinste σ-Algebra F uber Ω, sodass X eine Zufallsvariable auf (Ω, F, P ) ist. Wieso spielt hier das Wahrscheinlichkeitsmaß P keine Bedeutung?
(ii) Sei nun das W-Maß P ({ω}) = 1/6 für ω ∈ Ω \ {0} und P ({0}) = 0. Bestimmen Sie für (b)
und (c) die Verteilung PX von X. |
Hey, ich habe ein wenig meine Probleme mit der Aufgabe.
Also, ich habe mir überlegt, dass die Urbilder der Zufallsvariable in der Sigma-Algebra liegen müssen.
Machen wir das mal für a)
Also ImX={-6, -4, -2 , 0, 2, 4, 6}
So wie ich das sehe ist hier die kleinste Sigma-Algebra die Potenzmenge von Omega, weil die Abbildung bijektiv ist.
Ich versuchs mal noch für b)
ImX={0, 1, 4, 9}
Jetzt betrache ich alle Urbilder X^-1({1})={-1,1}
Das mache ich für alle Möglichkeiten und komme auf:
F'={{0},{-1,1},{-2,2},{-4,4}}
Jetzt würde ich noch die Komplemente mit reinehmen, so dass sich F zu:
F={{0},{-4,-2,-1,1,2,4},{-1,1},{-4,-2,0,2,4},{-2,2},{-4,-1,0,1,4},{-4,4},{-2,-1,0,1,2}} ergibt.
Muss ich jetzt noch die Vereinigungen der Mengen mit reinnehmen?
Wäre sehr froh über Hilfe, ich schreibe nächste Woche Klausur und das hier ist mir noch nicht so ganz klar. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 27.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Dicen,
> i) Wir betrachten die Menge Ω = {−3, −2, −1, 0, 1,
> 2, 3} und die folgenden Zufallsvariablen
> (a) X(ω) = 2ω.
> (b) X(ω) = ω 2 .
> (c) X(ω) = |ω| + 2.
> Bestimmen Sie jeweils die kleinste σ-Algebra F uber Ω,
> sodass X eine Zufallsvariable auf (Ω, F, P ) ist. Wieso
> spielt hier das Wahrscheinlichkeitsmaß P keine Bedeutung?
>
> (ii) Sei nun das W-Maß P ({ω}) = 1/6 für ω ∈ Ω \ {0}
> und P ({0}) = 0. Bestimmen Sie für (b)
> und (c) die Verteilung PX von X.
> Hey, ich habe ein wenig meine Probleme mit der Aufgabe.
>
> Also, ich habe mir überlegt, dass die Urbilder der
> Zufallsvariable in der Sigma-Algebra liegen müssen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Machen wir das mal für a)
>
> Also ImX={-6, -4, -2 , 0, 2, 4, 6}
> So wie ich das sehe ist hier die kleinste Sigma-Algebra
> die Potenzmenge von Omega, weil die Abbildung bijektiv
> ist.
>
> Ich versuchs mal noch für b)
>
> ImX={0, 1, 4, 9}
> Jetzt betrache ich alle Urbilder X^-1({1})={-1,1}
> Das mache ich für alle Möglichkeiten und komme auf:
> F'={{0},{-1,1},{-2,2},{-4,4}}
> Jetzt würde ich noch die Komplemente mit reinehmen, so
> dass sich F zu:
>
> F={{0},{-4,-2,-1,1,2,4},{-1,1},{-4,-2,0,2,4},{-2,2},{-4,-1,0,1,4},{-4,4},{-2,-1,0,1,2}}
> ergibt.
Statt -4 und 4 muss es -3 und 3 sein. Nur Tippfehler?
> Muss ich jetzt noch die Vereinigungen der Mengen mit
> reinnehmen?
Ja, jede abzählbare Vereinigung von Elementen aus F gehört auch zu F.
Da [mm] $\Omega$ [/mm] endlich ist, sind es alle Vereinigungen.
Auch ist [mm] $\Omega \in$ [/mm] F und [mm] $\emptyset \in$ [/mm] F.
Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) Sigma-Algebra .
>
> Wäre sehr froh über Hilfe, ich schreibe nächste Woche
> Klausur und das hier ist mir noch nicht so ganz klar. :)
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Fr 27.07.2012 | | Autor: | Dicen |
Ja, war nur ein "Tippfehler", beziehungsweise Unkonzentriertheit.
Die Vereinigungen sind dann ja nur noch viel Arbeit, danke schön. :)
e: Das ist übrigens keine neue Frage, hab nur auf den falschen Button geklickt.
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