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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 18.01.2010 | | Autor: | meauw |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IC \to \IC [/mm] holomorph (also eine ganze Funktion).
Sei |f(z)|<=1/(|Im(z)|) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IR
[/mm]
Zeige das f die Nullfunktion ist. |
Hallo.
Ich habe versucht diese Aussage zu beweisen.
Aber es ist mir leider nicht ganz gelungen.
Ich hatte zwei Ideen:
1. Ich wollte zeigen, dass die Taylorkoeffizienten von
g(z):=f(z)*Im(z) verschwinden mit Hilfe der üblichen Integralabschätzungen.
Jedoch ist mir dann eingefallen, dass g(z) gar nicht holomorph ist und somit gar nicht in eine Taylorreihe auf ganz [mm] \IC [/mm] entwickelbar ist.
2. Ich wollte direkt die Taylorkoeffizienten mit dem Cauchy-Integral abschätzen und dabei die gegebene Abschätzung verwenden.
Allerdings erhalte ich dann unter dem Integral sowas wie 1/|Im(z)|
und das wird leider auf einem Kreis mit Radius R beliebig groß.
Kann jemand mir weiterhelfen.
Irgendwie gehen mir gerade die Ideen aus.
Gruß und Vielen Dank im voraus!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Mo 18.01.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo meauw,
ohne dass ich mir den Beweis im Detail überlegt hätte, riecht das Ganze doch sehr nach dem Satz von Liouville (oder dem Maximumprinzip). Denk mal in die Richtung weiter.
Gruß
Uli
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:25 Mo 18.01.2010 | | Autor: | meauw |
Sicher? Aber Liouville sagt doch nur was aus über konstante Funktionen. Nichts explizit über die Nullfunktion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 18.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Sicher? Aber Liouville sagt doch nur was aus über
> konstante Funktionen. Nichts explizit über die Nullfunktion.
Liouville sagt: beschränkt + ganz [mm] $\Rightarrow$ [/mm] konstant. Deine Funktion ist ganz und beschränkt (warum?), also konstant. Wenn du dir jetzt noch mal diese Ungleichung anschaust ist klar, dass f dann nur die Nullfunktion sein kann.
Edit: Sorry ich habe grad gesehen dass die Ungleichung ja nur auf [mm] $\IC\setminus\IR$ [/mm] gilt (macht natürlich sonst auch keinen Sinn). Jedenfalls ist mir jetzt auch nicht mehr klar warum die Funktion beschränkt ist. Aber: wenn du das das gezeigt hast bist du trotzdem fertig.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 20.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 18.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph (also eine ganze Funktion).
> Sei |f(z)|<=1/(|Im(z)|) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm]
Hallo,
da |f(z)|<=1/(|Im(z)|) für ALLE z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm] (also auch für Zahlen z mit "richtig großem" Imaginärteil) gelten soll, kannst dir für einen beliebig gewählten Realteil den Imaginärteil gegen unendlich gehen lassen.
Gruß Abakus
> Zeige das f die Nullfunktion ist.
> Hallo.
> Ich habe versucht diese Aussage zu beweisen.
> Aber es ist mir leider nicht ganz gelungen.
> Ich hatte zwei Ideen:
> 1. Ich wollte zeigen, dass die Taylorkoeffizienten von
> g(z):=f(z)*Im(z) verschwinden mit Hilfe der üblichen
> Integralabschätzungen.
> Jedoch ist mir dann eingefallen, dass g(z) gar nicht
> holomorph ist und somit gar nicht in eine Taylorreihe auf
> ganz [mm]\IC[/mm] entwickelbar ist.
> 2. Ich wollte direkt die Taylorkoeffizienten mit dem
> Cauchy-Integral abschätzen und dabei die gegebene
> Abschätzung verwenden.
> Allerdings erhalte ich dann unter dem Integral sowas wie
> 1/|Im(z)|
> und das wird leider auf einem Kreis mit Radius R beliebig
> groß.
>
> Kann jemand mir weiterhelfen.
> Irgendwie gehen mir gerade die Ideen aus.
>
> Gruß und Vielen Dank im voraus!!!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:42 Mo 18.01.2010 | | Autor: | meauw |
^^ ist das wirklich so easy?
also macht schon sinn wo dus jetzt so sagst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> da |f(z)|<=1/(|Im(z)|) für ALLE z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm] (also
> auch für Zahlen z mit "richtig großem" Imaginärteil)
> gelten soll, kannst dir für einen beliebig gewählten
> Realteil den Imaginärteil gegen unendlich gehen lassen.
Also ich versteh die Antwort irgendwie überhaupt nicht...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mi 20.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f:\IC \to \IC[/mm] holomorph (also eine ganze Funktion).
> Sei |f(z)|<=1/(|Im(z)|) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IR[/mm]
> Zeige das f die Nullfunktion ist.
> Hallo.
> Ich habe versucht diese Aussage zu beweisen.
> Aber es ist mir leider nicht ganz gelungen.
> Ich hatte zwei Ideen:
> 1. Ich wollte zeigen, dass die Taylorkoeffizienten von
> g(z):=f(z)*Im(z) verschwinden mit Hilfe der üblichen
> Integralabschätzungen.
> Jedoch ist mir dann eingefallen, dass g(z) gar nicht
> holomorph ist und somit gar nicht in eine Taylorreihe auf
> ganz [mm]\IC[/mm] entwickelbar ist.
> 2. Ich wollte direkt die Taylorkoeffizienten mit dem
> Cauchy-Integral abschätzen und dabei die gegebene
> Abschätzung verwenden.
> Allerdings erhalte ich dann unter dem Integral sowas wie
> 1/|Im(z)|
> und das wird leider auf einem Kreis mit Radius R beliebig
> groß.
>
> Kann jemand mir weiterhelfen.
> Irgendwie gehen mir gerade die Ideen aus.
Wie wäre es mit folgender Überlegung: Betrachte eine Kreisschreibe vom Radius 2 um $z=0$. Nach dem Maximumsprinzip nimmt $f$ sein Maximum auf dem Rand dieses Kreises an. Das Gleiche gilt aber auch für die Kreisscheiben vom Radius 2 um $z=+1$ und $z=-1$, genauer gesagt für alle Kreisscheiben von Radius 2, deren Mittelpunkt auf der reellen Achse liegt. Das heisst aber (Zeichnung!), dass das Maximum (großzügig nach unten abgeschätzt) mindestens einen Abstand $1/2$ von der reellen Achse hat, also einen Imaginärteil von mehr als $1/2$ hat. Also ist $|f(z)|$ innerhalb dieser Kreisscheiben überall [mm] $\le [/mm] 2$, und damit in ganz [mm] $\IC$ [/mm] beschränkt.
Sieht jemand einen logischen Fehler in dieser Argumentation?
Der Rest geht wie vorher: ganz + beschränkt = konstant, und wegen $|f(z)|<=1/(|Im(z)|)$ muss dann f die Nullfunktion sein.
Viele Grüße
Rainer
(Edit, pelzig: Sorry habe ausversehen hier drinrumeditiert, wollte ich gar nicht. Hab es wieder hergestellt....)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Was ich eigentlich sagen wollte: Ich finde dein Argument einfach wunderbar! 
Gruß, Robert
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