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Hallo!
Ich soll per Induktion beweisen:
n!=n*(n-1)*(n-2)*.....*1 ist. Ich bekomme zwar den Beweis hin, doch möchte ich die rechte Seite zusammenfassen....
Meine Frage ist, gilt das Gleichnis
[mm] n*(n-1)*(n-2)*.....*1=\produkt_{{n=1}_{k=0,....,n+1}}^{l}(n-k)
[/mm]
Liebe Grüße
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Hallo Sachsenjunge,
> Hallo!
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> Ich soll per Induktion beweisen:
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> n!=n*(n-1)*(n-2)*.....*1 ist. Ich bekomme zwar den Beweis
> hin, doch möchte ich die rechte Seite zusammenfassen....
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> Meine Frage ist, gilt das Gleichnis
Amen!
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> [mm]n*(n-1)*(n-2)*.....*1=\produkt_{{n=1}_{k=0,....,n+1}}^{l}(n-k)[/mm]
Die Darstellung kapiere ich nicht, außerdem solltest du nicht n als Laufindex verwenden, sondern als obere Grenze, von daher eher:
[mm] $n\cdot{}(n-1)\cdot{}(n-2)\cdot{}....\cdot{}3\cdot{}2\cdot{}1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)$
[/mm]
Machen wir die Probe rechterhand und schreiben mal aus:
Das Produkt läuft von $k=0$ bis $k=n-1$, hat also $n$ Faktoren, das ist schonmal gut.
[mm] $n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}(n-(n-1))=n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}1$
[/mm]
Passt also.
Wenn du das Produkt bei $k=1$ beginnen lassen möchten, mache eine Indexverschiebung.
Die Erhöhung des Laufindex um 1 korrigiere dabei, indem du $k$ in dem Produkt um 1 erniedrigst:
Also [mm] $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)=\prod\limits_{k=1}^{n}(n-(k-1))=\prod\limits_{k=1}^{n}(n-k+1)$
[/mm]
Ich hoffe, das war so das, was du meintest.
Falls nicht, einfach laut schreien
Gruß
schachuzipus
>
> Liebe Grüße
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oh, danke.
da ist aber der induktionsbeweis ganz schön kurz.
vielleicht als probe:
Induktionsbehauptung:
[mm] (n+1)!=(n+1)*(n)*(n-1)*....*1=(n+1)*\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)
[/mm]
Induktionsbeweis:
[mm] (n+1)!=n!*(n+1)=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k) *(n+1)=(n+1)*\prod\limits_{k=0}^{n-1}(n-k)=RHS
[/mm]
damit wäre ich ferig....
LG
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Hallo nochmal,
ja, das ist im Prinzip eine Aufgabe, deren "Lösung" schon per se dasteht
Die Produktdarstellung ist ja nix anderes als die ausgeschriebene Version, du hättest auch alles ausschreiben und nur die rekurs. Def. der Fakultät und einmal die Induktionsvor. gebraucht, etwa im dem Stile:
IV: Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte [mm] $\red{n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}2\cdot{}1=n!}$
[/mm]
Dann ist [mm] $(n+1)\cdot{}n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}2\cdot{}1=(n+1)\cdot{}\red{\left[n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}2\cdot{}1\right]}=(n+1)\cdot{}\red{n!}$ [/mm] nach IV
$=(n+1)!$ rek. Def. der Fakultät ...
Aber mit der Produktdarstellung ist das auch astrein ...
Gruß
schachuzipus
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