Klausur LA1 Teil1 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:29 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Teil 1 (Mulitple Choice):
Aufgabe 1.1:
Seien f,g Endomorphismen eines endlich Dimensionalen K-Vektorraums V. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) f ist injektiv => f ist surjektiv
(b) f ist injektiv => [mm] f^2 [/mm] ist injektiv
(c) f & g sind inj => f+g ist injektiv
Aufgabe 1.2:
Sei V ein n-dimensionaler K-VR & seien [mm] U_1 [/mm] , [mm] U_2 [/mm] UnterVR von V. Welche der folgenden Aussagen ist immer richtig?
(a) [mm] dim(U_1\cap U_2) [/mm] < dim V
(b) [mm] dim(U_1\cap U_2) \le [/mm] dim [mm] U_1
[/mm]
(c) [mm] dim(U_1\cap U_2) [/mm] = dim V => [mm] U_1\subset U_2
[/mm]
(d) [mm] dim(U_1\cap U_2) [/mm] < dim [mm] U_1 [/mm] => [mm] U_2\subset U_1
[/mm]
Aufgabe 1.3:
Wie lautet das Minimalpolynom der folgenden Matrix in [mm] M_4(\IR)?
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
(a) [mm] (T-1)(T-2)^3
[/mm]
(b) [mm] (T-1)^2(T-2)^2
[/mm]
(c) (T-1)(T-2)
(d) [mm] (T-1)(T-2)^2
[/mm]
(e) [mm] (T-2)^3
[/mm]
Aufgabe 1.4:
Sei f: [mm] \IC^2 \to \IC^2 [/mm] eine [mm] \IC-lineare [/mm] Abb. Welche Aussagen sind stets richtig?
(a) f hat einen Eigenwert
(b) f hat 2 verschiedene Eigenwerte
(c) f kann vier verschiedene Eigenwerte haben
(d) Die Summe der Dimensionen der Eigenräume ist stets 2
Aufgabe 1.5:
Sei V ein endlich dimensionaler K-VR & seinen [mm] U_1, U_2 [/mm] nicht leere affine Unterräume. Welche der Aussagen über U := [mm] U_1\cap U_2 [/mm] sind richtig?
(a) Falls [mm] 0\in U_1 [/mm] ist U ein linearer Unterraum von V
(b) U ist nie die leere Menge
(c) Falls [mm] u_1, u_2\in [/mm] U sin, so folgt [mm] \forall \lambda\in [/mm] K, dass [mm] \lambda u_1 [/mm] + (1 [mm] -\lambda)u_2 [/mm] ein Element von U ist.
Aufgabe 1.6:
Welche der folgenden Matrizen hat den Rang 2?
(a) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 }
[/mm]
(b) [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
(c) [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
(d) [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
Aufgabe 1.7:
Welche Formel beschreibt [mm] \forall\alpha\in [/mm] K die Determinante der Matrix [mm] A=\pmat{ \alpha & \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha & \alpha \\ \alpha & \alpha & \alpha }\in M_3(K)?
[/mm]
(a) det A = 0
(b) det A = [mm] \alpha
[/mm]
(c) det A = [mm] \alpha^3
[/mm]
(d) det A = [mm] 3\alpha^3
[/mm]
Aufgabe 1.8:
Welche der folgenden Permutationen haben Signum 1?
(a) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 4 & 7 & 8 }
[/mm]
(b) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 3 & 6 & 5}
[/mm]
(c) [mm] id\in S_7
[/mm]
(d) [mm] id^-1\in S_5
[/mm]
Aufgabe 1.9:
Sei V ein endlich dimensionaler K-VR & [mm] f\in End_K(V). [/mm] Es gebe eine natürliche Zahl [mm] n\ge [/mm] 2 mit der Eigenschaft (det [mm] f)^n=0. [/mm] Welche Schlussfolgerungen kann man daraus ziehen?
(a) Es gibt eine Zahl [mm] N\in\IN [/mm] so, dass [mm] f^N=0
[/mm]
(b) f ist nicht surjektiv
(c) Es gibt einen Vektor [mm] v\in [/mm] V-{0} mit [mm] f^n-1(v) [/mm] =0
(d) Es gibt eine Basis bezüglich der [mm] f^n [/mm] durch die Nullmatrix beschrieben wird
Aufgabe 1.10:
Es sei V ein reeller VR & [mm] f\in End_\IR(V). [/mm] Darüber hinaus gelte [mm] f^5=f. [/mm] Welche Eigenwerte kann f haben?
(a) 1
(b) i
(c) -1
(d) -i
(e) 0
(f) [mm] \wurzel{5}
[/mm]
(g) [mm] \wurzel{4} [/mm] |
Aufgabe 1.1:
(a) ist unfug
(b) stimmt
(c) stimmt
Aufgabe 1.2:
(a) falsch, wenn [mm] U_1=U_2=V
[/mm]
(b) richtig, [mm] dim(U_1\cap U_2) [/mm] = dim [mm] U_1 [/mm] genau dann wenn [mm] U_1\subset U_2 [/mm] ansonsten ist die Dimension des Schnitts immer kleiner.
(c) falsch, wenn [mm] U_1\oplus U_2 [/mm] =V
(d) falsch, kann man sich einfach graphisch vorstellen mit zwei Kreisen die sich schneiden
Aufgabe 1.3:
(c), da f(A)=(A - I)(A-2I) = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] und gleichzeitig das kleinste Polynom ist, welches alle nicht zerlegbaren Faktoren des charakteristischen Polynoms der Matrix besitzt.
Aufgabe 1.4:
(a) falsch, da f auch die Nullabbildung sein kann und damit keinen Eigenwert haben muss
(b) falsch, folgt aus (a)
(c) richtig, eine Fkt kann maximal n = [mm] dim_K [/mm] V Eigenwerte haben, in diesem Fall [mm] dim_\IC \IC^2=4
[/mm]
(d) falsch, ergibt sich aus (c)
Aufgabe 1.5:
(a) falsch, aber mehr nach Bauchgefühl entschieden
(b) falsch, affine Unterräume sind immer verschieden
(c) falsch, aber wie bei (a) kA warum
Aufgabe 1.6:
(a) rg=2
(b) kann man via Gauss auf [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] bringen => rg=1
(c) durch Gauss => [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] => rg =1
(d) durch Gauss => [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] => rg = 2
Aufgabe 1.7:
(a), da via Gauss => [mm] \pmat{ \alpha & \alpha & \alpha \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] => det(A) = 0
Aufgabe 1.8:
(a) sig 1, da insg. 2 Fehlstände
(b) sig -1, da insg. 3 Fehlstände
(c) sig 1, da keine Fehlstände
(d) sig 1, da insg 4+3+2+1 =10 Fehlstände
Aufgabe 1.9:
Bei dieser Aufgabe habe ich nicht den geringsten Schimmer von einem Lösungsansatz
Aufgabe 1.10:
(a) möglich
(b) nicht möglich da [mm] i\not\in\IR
[/mm]
(c) möglich da 5 ungerade
(d) s.(b)
(e) nicht möglich
(f) nicht möglich
Die Lösung ist aber auch eher nach Bauchgefühl gefunden
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Fr 23.03.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu :)
Ich kenne zwar nicht alle Antworten auf diese Frage, aber ich möchte kurz was zu Aufgabe [mm]1a)[/mm] sagen.
Und zwar ist diese richtig, denn:
Sei [mm]f: V \longrightarrow V [/mm] eine lineare Abbildung mit dim V = n , dann folgt
f injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] Kern(f) = {0} .. betrachten wir die Dimensionsformel
dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f)
da dim Kern(f) = 0 folgt dim Bild(f) = n
Also, dim V = dim Bild(f) und da Bild(f) ein Untervektorraum von V ist ( und die gleiche Dimension hat) folgt :
V = Bild(f)
d.h. das Bild umfasst den gesammten Zielbereich der Abbildung, also ist f surjektiv
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Hallo,
könntest Du da in kleinere Portionen aufteilen?
So erschlägt es einem, und außerdem habe ich die Befürchtung, daß ein fürchterlich langes, unübersichtliches Ding draus werden könnte.
Gruß v. Angela
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