Klausur LA1 1.4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei f: $ [mm] \IC^2 \to \IC^2 [/mm] $ eine $ [mm] \IC-lineare [/mm] $ Abb. Welche Aussagen sind stets richtig?
(a) f hat einen Eigenwert
(b) f hat 2 verschiedene Eigenwerte
(c) f kann vier verschiedene Eigenwerte haben
(d) Die Summe der Dimensionen der Eigenräume ist stets 2 |
(a) falsch, da f auch die Nullabbildung sein kann und damit keinen Eigenwert haben muss
(b) falsch, folgt aus (a)
(c) richtig, eine Fkt kann maximal n = $ [mm] dim_K [/mm] $ V Eigenwerte haben, in diesem Fall $ [mm] dim_\IC \IC^2=4 [/mm] $
(d) falsch, ergibt sich aus (c)
Ich wäre Dankbar wenn jmd diese Aufgaben Korrektur lesen könnte und mich auf Fehler Aufmerksam machen und bei den Aufgaben bei denen mir der Ansatz oder die Begründung fehlt auf die Sprünge hefen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 So 25.03.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo Zerwas!
> Sei f: [mm]\IC^2 \to \IC^2[/mm] eine [mm]\IC-lineare[/mm] Abb. Welche
> Aussagen sind stets richtig?
> (a) f hat einen Eigenwert
> (b) f hat 2 verschiedene Eigenwerte
> (c) f kann vier verschiedene Eigenwerte haben
> (d) Die Summe der Dimensionen der Eigenräume ist stets 2
> (a) falsch, da f auch die Nullabbildung sein kann und damit
> keinen Eigenwert haben muss
Die Nullabbildung hat doch aber den EW 0 (mit Vielfachheit 2), denn das CharPoly ist einfach [mm] $x^2$.
[/mm]
(a) stimmt also
> (b) falsch, folgt aus (a)
Das stimmt nun, allerdings mit meiner Antwort auf (a). Die Nullabbildung hat nur einen EW.
> (c) richtig, eine Fkt kann maximal n = [mm]dim_K[/mm] V Eigenwerte
> haben, in diesem Fall [mm]dim_\IC \IC^2=4[/mm]
Es ist aber [mm] $\dim_{\IC}\IC^2=2$ [/mm] (denn eine Basis ist [mm] $\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$)
[/mm]
Du verwechselst das glaube ich mit [mm] $\dim_{\IR}\IC^2=4$ [/mm] (denn eine Basis ist [mm] $\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1},\vektor{i\\0},\vektor{0\\i}\right\}$).
[/mm]
Also (c) falsch.
> (d) falsch, ergibt
> sich aus (c)
Da (c) falsch ist, müssen wir uns hier was anderes überlegen.
Am besten ein Gegenbeispiel 
Wie war das denn bei den Matrizen über [mm] $\IR$? [/mm] Gab es da welche, bei denen die Summe der Vielfachheiten aller EW 2 ergab, aber die Summe der Dimensionen der Eigenräume nicht?
Beim Übergang von [mm] $\IR$ [/mm] zu [mm] $\IC$ [/mm] ändert sich höchstens, dass wir mehr EW erhalten, nicht aber die Lösbarkeit oder die Dimension der Eigenräume. Es müssten also sehr einfache Gegenbeispiele zu finden sein.
Viele Grüße,
Marc
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