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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe. Zeige:
a) Für alle [mm] $g,h\in [/mm] G$ sind die Elemente $gh$ und $hg$ in G konjugiert.
b) Sind alle Elemente aus [mm] $G\textbackslash \{1\}$ [/mm] in G konjugiert, so ist $|G| = 2$.
c) Gibt es in G genau ein Element der Ordnung 2, so ist $|ZG| > 1$. |
Hallo!
Obige Aufgabe stammt aus einer Algebra 1 Klausur, ich habe sie versucht zu lösen, stoße aber an einigen Stellen noch auf Probleme.
a) Wenn [mm] $g,h\in [/mm] G$, dann ist [mm] $g^{-1} [/mm] (gh) g = hg$, also sind die Elemente konjugiert.
b) Versuch mit Klassengleichung: G operiert auf sich selbst mittels Konjugation. Dann ist für ein beliebiges [mm] $x\in G\textbackslash \{1\}$:
[/mm]
Die Bahn $Gx = [mm] \{g^{-1}xg|g\in G\} [/mm] = [mm] G\textbackslash \{1\}$ [/mm] (da alle Elemente zueinander konjugiert sind).
Das Zentrum $ZG = [mm] \{1\}$.
[/mm]
Den Stabilisator [mm] $G_x [/mm] = [mm] \{g\in G: g^{-1}xg = x\}$.
[/mm]
Klassengleichung liefert: $|G| = |ZG| + |Gx| = 1 + [mm] [G:G_x] [/mm] = 1 + [mm] \frac{|G|}{|G_x|}$, [/mm] also $|G| = [mm] \frac{|G_x|}{|G_x| - 1}$.
[/mm]
Mein Ziel wäre es also, [mm] $|G_x| [/mm] = 2$ zu zeigen für irgendein [mm] $x\in G\textbackslash \{1\}$. [/mm] Ich weiß, dass [mm] $1\in G_x$ [/mm] und [mm] $x\in G_x$. [/mm] Für die restlichen [mm] $g\in [/mm] G$ muss [mm] $g^{-1}xg \not= [/mm] x$ gelten, weil ja die ganzen Elemente aus [mm] $G\textbackslash \{1\}$ [/mm] getroffen werden muessen.
Also [mm] $|G_x| [/mm] = 2$. Stimmt das?
c) Ich versuche es wieder mit der Klassengleichung. Da es in $G$ (genau) ein Element x der Ordnung 2 gibt, ist $|G|$ gerade (Lagrange).
Klassengleichung $|G| = |ZG| + [mm] \sum [/mm] |Gx| = |ZG| + [mm] \sum [G:G_x]$.
[/mm]
Ich weiß, dass [mm] $1\in [/mm] ZG$. Ich weiß, dass für alle [mm] $x\in [/mm] G$, [mm] x\not= [/mm] 1 der Stabilisator [mm] $G_x$ [/mm] mindestens die beiden Elemente 1 und x beinhaltet. Aber hier komme ich nicht weiter und bitte um Hilfe 
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> also [mm]|G| = \frac{|G_x|}{|G_x| - 1}[/mm].
Mal abgesehn davon, dass da wohl die Gruppen vertauscht sind, ist es eine ganz leichte Überlegung, dass [m]\frac{a}{a-1}[/m] für natürliches a nur dann wieder natürlich ist, wenn [m]a=2[/m] gilt.
> c)
Wen h Ordnung 2 hat, welche hat dann [m]ghg^{-1}[/m]? Daraus folgt eigentlich schon alles ...
SEcki
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Hallo Secki,
danke für deine Antwort!
> > also [mm]|G| = \frac{|G_x|}{|G_x| - 1}[/mm].
>
> Mal abgesehn davon, dass da wohl die Gruppen vertauscht
> sind, ist es eine ganz leichte Überlegung, dass
> [mm]\frac{a}{a-1}[/mm] für natürliches a nur dann wieder
> natürlich ist, wenn [mm]a=2[/mm] gilt.
Ja, da hast du recht...
> > c)
>
> Wen h Ordnung 2 hat, welche hat dann [mm]ghg^{-1}[/mm]? Daraus folgt
> eigentlich schon alles ...
Dann hat das auch Ordnung 2.
[mm] $(ghg^{-1})*(ghg^{-1}) [/mm] = 1.$
Das bedeutet, es muss [mm] $ghg^{-1} [/mm] = h$ sein, weil es ja das einzige Element mit Ordnung 2 ist.
Also gilt $gh = hg$ für alle [mm] $g\in [/mm] G.$
Das bedeutet, das Zentrum besitzt außer dem neutralen Element auch noch h als Element. --> Mindestens Mächtigkeit 2.
Danke!
Stefan
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