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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:45 Mi 27.05.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | die wahrscheinlichkeit dafür, dass eine familie genau n kinder hat, sei [mm] p_n:=ap^n, n\ge [/mm] 1 mit gewissen konstanten a>0 und p>0. außerdem sei voraussgesetzt, dass alle verteilungen der geschlechter von n kindern gleichwahrscheinlich sind.
1. zeige, dass [mm] a\le [/mm] 1/p -1 und [mm] p_0=1- [/mm] a [mm] \bruch{p}{1-p} [/mm] gelten
2. zeigen sie, dass [mm] r_k=2a \bruch{p^k}{(2-p)^(k+1)}, k\ge [/mm] 1 die wahrscheinlichkeit ist, dass eine famile k mädchen hat
3. es sei bekannt, dass eine familie mindestens ein mädchen hat. wie groß ist die wahrscheinlichkiet, dass sie mehr als zwei mädchen hat? |
ich führe X als Anzahl der Kinder ein.
mit der binomialverteilung überlege ich mir für [mm] p_0 [/mm] dann: P(X=0)= [mm] \vektor{n\\0} (ap^n)^0 (1-ap^n)^n [/mm] die ersten beiden fakoren ergeben ja jeweils 1. die letzte klammer könnte ich noch mit der binom.formel umschreiben, jedoch bringt mich das noch immer nicht auf die gesuchte form für [mm] p_0!
[/mm]
oder bin ich da völlig auf dem holzweg?!
und bei den anderen aufgaben hab ich keinerlei ansatz, kann mir da jemand weiterhelfen bitte??
gruß und dank
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1) Versuchs mal über die harmonische Reihe und bedenke, dass sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 aufaddieren.
2) Die Wahrscheinlichkeit für Jungs müsste sich ja über die gleiche Formel ergeben. Dann muss [mm] r_k+r_{n-k}=p_n [/mm] sein. Muss noch mal darüber nachdenken, aber eventuell könnte man über die Anzahl der Kinder eine Induktion machen.
3) Hier muss man wohl mit bedingten Wahrscheinlichkeiten arbeiten.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 27.05.2009 | | Autor: | gigi |
bei 3. kann man ja sicher das [mm] r_k [/mm] von 2. irgendwie nutzen...
ich hab mir überlegt: die wahrscheinlichkeit für mindestens 1 mädchen= [mm] P(M\ge [/mm] 1)= 1- P(M=0) hier darf ich die formel von 2. jedoch nicht verwenden, da die bedingung [mm] k\ge1 [/mm] nicht erfüllt ist.
aber wenn die familie nach vor. außerdem mind. 1 kind hat, dann ist das gegenereignis zu [mm] P(M\ge [/mm] 1) ja P(1 Junge) oder?! und die wahrscheinlichkeit dürfte sich ja analog berechnen lassen:
[mm] P(M\ge [/mm] 1)= 1- P(J=1)= 1-2a [mm] \bruch{p}{(2-p)^2}
[/mm]
und hier komme ich schon nicht weiter....oder ist es sowieso ein falscher ansatz??
danke für eure hilfe, lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 27.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> und hier komme ich schon nicht weiter....oder ist es
> sowieso ein falscher ansatz??
Moin gigi,
bei 3. ist [mm] $P(X>2\mid [/mm] X>1)$ zu bestimmen...
vg Luis
PS: Ist deine Hochstelltaste kaputt? Oder warum sendest du sonst so leseunfreundliche Zuschriften?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:57 Do 28.05.2009 | | Autor: | gigi |
Ja, ich möchte ja auch P(X>2|X>1) bestimmen. Dafür benötige ich jedoch erstmal P(X>1), oder? Und waren meine Überlegungen diesbezüglich ganz falsch oder nicht?
Viele Grüße und Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Do 28.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
*ich* rechne so:
[mm] $P(X>2\mid X\ge [/mm] 1) [mm] =\frac{P((X>2)\cap(X\ge1))}{P(X\ge1)}= \frac{P(X\ge3)}{P(X\ge1)}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 28.05.2009 | | Autor: | gigi |
Es müsste aber heißen [mm] P(X\ge [/mm] 1) anstatt von P(X>1) oder? und wie gesagt, so weit komme ich ja selbst problemlos--nur stellt sich dann die Frage: wie berechne ich hier die Wahrscheinlichkeit? Ich wollte wie oben geschildert die Formel aus 2. für [mm] r_k [/mm] nehmen--jedoch gilt diese ja erst ab [mm] k\ge [/mm] 1. In unserem Fall ist k jedoch meist 0! Ich hatte ja oben auch noch die Idee mit der Anzahl der Jungen--brauchbar oder nicht?
viele Grüße und besten Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
> Es müsste aber heißen [mm]P(X\ge[/mm] 1) anstatt von P(X>1) oder?
Das stimmt. Ich werde es korrigieren.
> und wie gesagt, so weit komme ich ja selbst problemlos--nur
> stellt sich dann die Frage: wie berechne ich hier die
> Wahrscheinlichkeit? Ich wollte wie oben geschildert die
> Formel aus 2. für [mm]r_k[/mm] nehmen--jedoch gilt diese ja erst ab
> [mm]k\ge[/mm] 1.
Das macht nichts.
>
> viele Grüße und besten Dank
Gerne.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 29.05.2009 | | Autor: | gigi |
ich benutze also einfach die formel für [mm] r_k, [/mm] auch wenn sie erst ab [mm] k\ge [/mm] 1 gilt--wieso darf ich das?? wenn ich dies tu, erhalte ich für die Wahrscheinlichkeit: [mm] \bruch{(2-p)^2-4a}{(2-p)^2-4a+2ap}. [/mm] was kann ich da noch weiterrechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 29.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mir ist noch ein Fehler unterlaufen, denn $X_$ ist nicht die Anzahl der
Maedchen, sondern $M_$. Mithin ist
[mm] $\frac{P(M\ge3)}{P(M\ge1)}=\frac{\sum_{k=3}^\infty
r_k}{\sum_{k=1}^\infty r_k}$
[/mm]
zu bestimmen...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 31.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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