Kettenwurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Mo 12.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Der Ausdruck [mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}
[/mm]
ist eine reelle Zahl (soll berechnet werden).
Es ist also zu zeigen, dass die Folge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] rekursiv durch
[mm] f_{0}:=0 [/mm] und [mm] f_{n+1}:=\wurzel{2+f_{n}}
[/mm]
definiert ist. Dazu gehen Sie wie folgt vor:
(1) Sie zeigen: dass [mm] \forall n\in\IN:1\le(f_{n})_{n\in\IN}\le2
[/mm]
(2) Sie zeigen, dass die Folge [mm] f_{n} [/mm] monoton steigend ist.
(3) Sie folgern, dass [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert und bestimmen anschließend den Grenzwert. |
(1):
Wir zeigen zunächst:
[mm] 1\le\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}
[/mm]
und nehmen uns dafür vor, die Aussage:
[mm] 1>\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}
[/mm]
zu widerlegen.
[mm] 1>\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}} \Rightarrow 1^{2}=1>2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}} \Rightarrow -1>\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}.
[/mm]
Darin liegt jedoch der Widerspruch, weil die Quadratwurzel einer positiven, reellen Zahl wieder eine positive, reelle Zahl ist. Also muss die Aussage
[mm] 1\le\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}} [/mm] stimmen.
Nun habe ich versucht das selbe Prinzip zu verwenden, um die Aussage
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}\le2
[/mm]
zu beweisen, was jedoch nicht funktioniert, weil man ständig auf den selben Ausdruck kommt. Wie könnte ich das anders zeigen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> weil man ständig auf den selben Ausdruck kommt
ist doch ein sehr guter Hinweis darauf, dass ein Induktionsbeweis funktionieren müsste (was er auch tatsächlich tut).
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 13.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
stimmt :) das mir so etwas nicht einfällt :/
also:
Nun wird induktiv bewiesen, dass [mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}\le2 [/mm] gilt:
I.A.:
[mm] n=1:f_{1}=\wurzel{2+0}=\wurzel{2}\le2 [/mm] diese Aussage ist wahr
I.V.:
[mm] f_{n}\le2
[/mm]
I.S.:
[mm] n\mapsto(n+1):
[/mm]
[mm] f_{n+1}:=\wurzel{2+f_{n}}\le2+f_{n}\le_{laut I.V.} 2+f_{n+1} \gdw f_{n}\le f_{n+1}
[/mm]
Somit ist die rekursive Folge monoton steigend.
Wir haben bewiesen, dass die Folge beschränkt und monoton steigend ist. Daraus können wir folgern, dass die Folge einen Grenzwert besitzt.
Nun habe ich noch Schwierigkeiten, den Grenzwert zu bestimmen. Meine Vermutung ist, dass der Grenzwert 2 ist. Ich habe folgend versucht dies induktiv zu beweisen, weiß allerdings nicht, ob man das so machen kann:
Vermutung: [mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}=2 \Rightarrow \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}^{n}=2^{n}
[/mm]
Dies versuche ich nun induktiv zu beweisen:
I.A.:
[mm] n=0:\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}^{0}=1=2^{0}=1 [/mm] diese Aussage ist wahr.
I.V.:
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}^{n}=2^{n}
[/mm]
I.S.:
[mm] n\mapsto(n+1):
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}^{n+1}=\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}^{n}\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}=_{laut I.V.} 2^{n}\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}
[/mm]
Jetzt müsste ich nur noch irgendwie so vereinfachen, dass [mm] 2^{n+1} [/mm] herauskommt.... Wie könnte ich das machen? Bzw. habe ich irgendwo etwas falsch gemacht?
Danke
[mm] b^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Di 13.05.2014 | | Autor: | Magehex |
> stimmt :) das mir so etwas nicht einfällt :/
>
> also:
>
> Nun wird induktiv bewiesen, dass
> [mm]\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+...}}}}}\le2[/mm]
> gilt:
>
> I.A.:
> [mm]n=1:f_{1}=\wurzel{2+0}=\wurzel{2}\le2[/mm] diese Aussage ist
> wahr
> I.V.:
> [mm]f_{n}\le2[/mm]
> I.S.:
> [mm]n\mapsto(n+1):[/mm]
> [mm]f_{n+1}:=\wurzel{2+f_{n}}\le2+f_{n}\le_{laut I.V.} 2+f_{n+1} \gdw f_{n}\le f_{n+1}[/mm]
>
> Somit ist die rekursive Folge monoton steigend.
>
> Wir haben bewiesen, dass die Folge beschränkt und monoton
> steigend ist. Daraus können wir folgern, dass die Folge
> einen Grenzwert besitzt.
Nein, also 1. ist deine Induktion falsch und 2. kannst du nicht Beschränktheit und Monotonie in einem Schritt zeigen.
Beschränkt: zu zeigen (I.V) [mm] f_{n}<=2
[/mm]
I.A. n=1, [mm] f_{1}=\wurzel{2} [/mm] <= 2
I.S. n->n+1
[mm] f_{n+1}=\wurzel{2*f_{n}} [/mm] <= I.V. [mm] \wurzel{2*2} [/mm] = 2
Monotonie: zu zeigen [mm] f_{n}<= f_{n+1}
[/mm]
...
> Nun habe ich noch Schwierigkeiten, den Grenzwert zu
> bestimmen. Meine Vermutung ist, dass der Grenzwert 2 ist.
> Ich habe folgend versucht dies induktiv zu beweisen, weiß
> allerdings nicht, ob man das so machen kann:
Wegen der Monotonie und Beschränktheit konvergiert diese Folge.
d.h. wir können Folgendes sagen:
[mm] \lim_{n \to \infty}f_{n} [/mm] = f
[mm] f=\lim_{n \to \infty}f_{n+1}= \lim_{n \to \infty}\wurzel{2*f_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{2f}
[/mm]
damit f = [mm] \wurzel{2f}
[/mm]
nun bekommst du 2 Grenzwerte (f ist übrigens dein Grenzwert). Da aber nur genau einer Existieren darf ist einer der beiden Falsch. Begründe warum.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Di 13.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
Upps d hast ja recht ich bin beim Abschreiben versehentlich in die falsche Zeile gerutscht und so kam es dann, dass ich hier die zwei Eigenschaften in einer Induktion beweisen wollte :) ich tippe es gleich nochmal richtig ab.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:58 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
An einigen Stellen schreibst Du
$ [mm] \wurzel{2f_n} [/mm] $ statt $ [mm] \wurzel{2+f_n} [/mm] $
und
$ [mm] \wurzel{2f} [/mm] $ statt $ [mm] \wurzel{2+f} [/mm] $
FRED
|
|
|
|
