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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kettenregel
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Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Mo 17.06.2013
Autor: Joker08

Aufgabe
Zu f: [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] und [mm] g:\IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit

[mm] f(x,y):=\vektor{x^2 \\ 2x+1 \\ 3y^2-x}, g(x,y,z):=\vektor{x+y \\ y^2} [/mm]

berechnen Sie

a) [mm] J_{g\circ f}(x,y) [/mm] mit der Kettenregel

b) [mm] J_{g\circ f}(x,y) [/mm] direkt indem Sie zuerst g(f(x,y)) berechnen

c) [mm] D((g\circ f)\circ...\circ ({g\circ f}))(0,0) [/mm] undzwar 2013-mal ausgeführt.


Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.

Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.

mfg. Joker

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Mo 17.06.2013
Autor: Fulla

Hallo Joker08!

> Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.

>

> Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an die
> Aufgabe herangehen soll.

Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm] zu finden.

Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat (so wie bei der einmaligen Ausführung).

Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine Lösungen zu a) und b).


Lieben Gruß,
fulla

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:00 Di 18.06.2013
Autor: Joker08


> Hallo Joker08!
>  
> > Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
>  >
>  > Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich an

> die
>  > Aufgabe herangehen soll.

>  
> Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine
> rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm]
> zu finden.
>  
> Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die
> Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu
> zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von
> [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat
> (so wie bei der einmaligen Ausführung).

Also das wurde irgendwie niergends definiert. Aber es wurde ein zusatz zu eigenwerte gegeben, den ich bislang nicht für das Aufgabenblatt verwenden musste. Bis auf die Aufgabe fehlt mir auch nichts mehr. Ich denke schon, dass damit die Determinate gemeint sein könnte.

> Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine
> Lösungen zu a) und b).

Okay

a) [mm] J_f(x,y)=\pmat{ 2xy & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y } [/mm]

[mm] J_g(x,y,z)=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2y & 0} [/mm]

[mm] J_g(f(x))=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0} [/mm]

Somit erhält man:

[mm] J_{g\circ f}(x,y)=J_g(f(x,y))\cdot J_f(x,y) [/mm] = [mm] =\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}=\pmat{ 2yx & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y} =\pmat{ 2yx+2 & x^2 \\ 8x+4 & 0} [/mm]  

b) [mm] g(f(x,y))=\pmat{ f_1(x,y)+ f_2(x,y)\\ (f_2(x,y))^2 }=\pmat{ x^2y+ 2x+1\\ (2x+1)^2} [/mm]

[mm] \bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial x}=\pmat{ 2xy+2 \\ 8x+4 } [/mm]

[mm] \bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial y}= \pmat{ x^2 \\ 0} [/mm]


[mm] Jg(f(x,y))=\pmat{ 2xy+2 & x^2 \\ 8x+y & 0} [/mm]

Sollte so stimmen oder ?


> Lieben Gruß,
>  fulla

mfg. Joker

Bezug
                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Di 18.06.2013
Autor: fred97


> > Hallo Joker08!
>  >  
> > > Also Aufgabenteil a) und b) habe ich bereits bearbeitet.
>  >  >
>  >  > Nur bei Aufgabe c) weiss ich nicht so recht, wie ich

> an
> > die
>  >  > Aufgabe herangehen soll.

>  >  
> > Mein erster Gedanke was mit Hilfe von a) und b) eine
> > rekursive darstellung von [mm](g\circ f)\circ\ldots\circ (g\circ f)[/mm]
> > zu finden.
>  >  
> > Verrate uns doch bitte, was der Operator D ist. Die
> > Determinante der Jacobimatrix? Falls ja, ist ja nur zu
> > zeigen, dass J auch nach 2013-maliger Ausführung von
> > [mm]g\circ f[/mm] die Form [mm]\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}[/mm] hat
> > (so wie bei der einmaligen Ausführung).
>  
> Also das wurde irgendwie niergends definiert. Aber es wurde
> ein zusatz zu eigenwerte gegeben, den ich bislang nicht
> für das Aufgabenblatt verwenden musste. Bis auf die
> Aufgabe fehlt mir auch nichts mehr. Ich denke schon, dass
> damit die Determinate gemeint sein könnte.
>  
> > Vielleicht zeigst du uns zur Kontrolle auch mal deine
> > Lösungen zu a) und b).
>  
> Okay
>
> a) [mm]J_f(x,y)=\pmat{ 2xy & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y }[/mm]
>  
> [mm]J_g(x,y,z)=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2y & 0}[/mm]
>  
> [mm]J_g(f(x))=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}[/mm]
>  
> Somit erhält man:
>  
> [mm]J_{g\circ f}(x,y)=J_g(f(x,y))\cdot J_f(x,y)[/mm] = [mm]=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4x+2 & 0}=\pmat{ 2yx & x^2 \\ 2 & 0 \\ -1 & 6y} =\pmat{ 2yx+2 & x^2 \\ 8x+4 & 0}[/mm]
>  
>
> b) [mm]g(f(x,y))=\pmat{ f_1(x,y)+ f_2(x,y)\\ (f_2(x,y))^2 }=\pmat{ x^2y+ 2x+1\\ (2x+1)^2}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial x}=\pmat{ 2xy+2 \\ 8x+4 }[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partialg(f(x,y))}{\partial y}= \pmat{ x^2 \\ 0}[/mm]
>  
>
> [mm]Jg(f(x,y))=\pmat{ 2xy+2 & x^2 \\ 8x+y & 0}[/mm]
>  
> Sollte so stimmen oder ?

Ja

FRED

>  
>
> > Lieben Gruß,
>  >  fulla
>
> mfg. Joker  


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Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Di 18.06.2013
Autor: JanaJauntily

Hallo,

Also ich sitze auch an der Aufgabe und habe für a) und b) die gleichen Ergebnisse, jedoch weiss ich nicht, wie diese mir helfen könnten. D steht wohl für die totale Ableitung, soweit ich das verstanden habe, da die Determinate durch det definiert ist. Jedoch hilft mir das auch nicht weiter.

Weiss denn dann jemand, wie man an die Aufgabe herangehen muss?

Mit freundlichen Grüssen,
Jana.

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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Di 18.06.2013
Autor: korbinian

Hallo,
Df(x) ist die lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen und wird durch der Jakobimatrix [mm]J_{f}[/mm](x) beschrieben. Wir können also a) verwenden. Fasse dazu
(g[mm] \circ [/mm]f) 2012 mal zu einer Abbildung zusammen.
Gruß korbinian

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Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Di 18.06.2013
Autor: JanaJauntily

Mh ja also entweder muss ich gof 2013 mal verketten und dann die Jakobimatrix berechnen was so ja eher nicht möglich ist oder kann ich [mm] J_{g}(f(0,0)) \circ J_{g}(f(0,0)) \circ [/mm] ... [mm] \circ J_{g}(f(0,0)) \* J_{f}(0,0) [/mm] = [mm] \pmat{1&0\\1&0\\0&0} \* \pmat{0&2&-1\\0&0&0} [/mm] = [mm] \pmat{2&0\\0&0} [/mm] ?

Und wenn das Quatsch ist, wie macht man es dann?

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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Di 18.06.2013
Autor: korbinian

Hallo,
tut mir Leid, wenn ich Dich verwirrt habe; war heute Morgen wohl etwas vorschnell und ziehe meinen Tipp (vorerst?) zurück. Habe "dafür" aber Rechenfehler in Deiner Rechnung gefunden. Die Verkettung von g und f ist m. E. nicht ganz richtig. Mein Ergebnis ist "schöner". Vielleicht wird ja damit c) einfacher.
Gruß korbinian


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Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Di 18.06.2013
Autor: Joker08

Ich habe die Aufgabe bereits gelöst.

Vielen dank für die Hilfe :)

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