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| Aufgabe | [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] ist eine total diffbare Funktion
[mm] g:\IR^n \to \IR [/mm] ist ein total diffbares Vektorfeld
zeige dass für [mm] i\in [/mm] {1,..,n} gilt:
[mm] \bruch{\delta}{\delta x_i}(f\circ g)(x)=\summe_{j=1}^{n}\delta_jf(g(x))\bruch{\delta g_j(x)}{\delta x_i}
[/mm]
2. [mm] f:\IR^3 \to \IR, x\to |x|^2 [/mm] und [mm] g:\IR^3 \to \IR, (r,\psi, \theta)\to (rcos\psi sin\theta, rsin\psi sin\theta, rcos\theta)^T [/mm] sind gegeben.
Bestimme [mm] \delta_r(f\circ [/mm] g), [mm] \delta_\psi(f\circ [/mm] g), [mm] \delta_\theta(f\circ [/mm] g) |
Könnt ihr mir erklären wie man bei 2. mit der kettenregel berechnet?
[mm] f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2
[/mm]
[mm] g(r,\psi, \theta)=\vektor{rcos\psi sin\theta \\ rsin\psi sin\theta \\ rcos\theta}
[/mm]
[mm] \delta_r(f\circ [/mm] g) muss ich ja nach r ableiten. Aber ich habe noch etwas schwierigkeiten mit der Verknüpfung von f und g.
Könnt ihr mir das für [mm] \delta_r [/mm] oder so mal erklären?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 13.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> [mm]f:\IR^n \to \IR[/mm] ist eine total diffbare Funktion
> [mm] $g:\IR^n \to \mathbb{R}^{{\color{red}n}}$ [/mm] ist ein total diffbares Vektorfeld
>
> zeige dass für [mm]i\in[/mm] {1,..,n} gilt:
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta x_i}(f\circ g)(x)=\summe_{j=1}^{n}\delta_jf(g(x))\bruch{\delta g_j(x)}{\delta x_i}[/mm]
>
> 2. [mm]f:\IR^3 \to \IR, x\to |x|^2[/mm] und [mm]g:\IR^3 \to \IR, (r,\psi, \theta)\to (rcos\psi sin\theta, rsin\psi sin\theta, rcos\theta)^T[/mm]
> sind gegeben.
>
> Bestimme [mm]\delta_r(f\circ[/mm] g), [mm]\delta_\psi(f\circ[/mm] g),
> [mm]\delta_\theta(f\circ[/mm] g)
>
> Könnt ihr mir erklären wie man bei 2. mit der
> kettenregel berechnet?
>
> [mm]f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2[/mm]
>
> [mm]g(r,\psi, \theta)=\vektor{rcos\psi sin\theta \\ rsin\psi sin\theta \\ rcos\theta}[/mm]
>
> [mm]\delta_r(f\circ[/mm] g) muss ich ja nach r ableiten. Aber ich
> habe noch etwas schwierigkeiten mit der Verknüpfung von f
> und g.
setze ganz einfach g in f ein. [mm] $x_i$ [/mm] ist die i-Komponente von f.
>
> Könnt ihr mir das für [mm]\delta_r[/mm] oder so mal erklären?
Nach dem Einsetzen kannst Du den Term erstmal vereinfachen und dann partiell ableiten.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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Also [mm] f(g(x))=r^2*cos^2\phi*sin^2\theta+r^2*sin^2\phi*sin^2\heta+r^2*cos^2\theta [/mm]
Nur was kann ich hier wegkürzen? Das sehe ich noch nicht ganz. Und dann einfach nach ableiten für [mm] \delta_r(f\circ [/mm] g) ?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 14.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo Mathegirl,
> Also
> [mm]f(g(x))=r^2*cos^2\phi*sin^2\theta+r^2*sin^2\phi*sin^2\heta+r^2*cos^2\theta[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]f(g(x))=r^2*cos^2\phi*sin^2\theta+r^2*sin^2\phi*sin^2\theta+r^2*cos^2\theta[/mm]
>
>
> Nur was kann ich hier wegkürzen? Das sehe ich noch nicht
> ganz. Und dann einfach nach ableiten für [mm]\delta_r(f\circ[/mm]
> g) ?
Wegkürzen ist nicht. (Sind doch keine Brüche)
Man kann [mm] $r^2$ [/mm] ausklammern:
[mm]f(g(x))=r^2*(cos^2\phi*sin^2\theta+sin^2\phi*sin^2\theta+cos^2\theta)[/mm]
Ja, und dann einfach ableiten nach r.
(... und dann noch ableiten nach [mm] $\phi$, [/mm] und danach nach [mm] $\theta$. [/mm] Wobei da [mm] $r^2$ [/mm] ausklammern nichts bringt.)
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß
meili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Also
> [mm]f(g(x))=r^2*cos^2\phi*sin^2\theta+r^2*sin^2\phi*sin^2\heta+r^2*cos^2\theta[/mm]
>
>
> Nur was kann ich hier wegkürzen? Das sehe ich noch nicht
> ganz. Und dann einfach nach ableiten für [mm]\delta_r(f\circ[/mm]
> g) ?
Nein, kürzen ist wirklich nicht. Aber man kann den Term sehr vereinfachen mit:
[mm] $\sin^2x+\cos^2x=1$
[/mm]
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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Ich sehe irgdwie nicht wie man den Term hier vereinfachen kann. Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?
Bei dem ungekürzten term habe ich:
[mm] \delta_r(f\circ g)=2rcos^2\phi sin^2\theta+2rsin^2\phi sin^2\theta+2rcos^2\theta
[/mm]
[mm] \delta_\phi(f\circ g)=-2r^2sin\phi sin^2\theta+2r^2cos\phi sin^2\theta
[/mm]
[mm] \delta_\theta)f\circ g)=2r^2cos^2\pho cos\theta+2r^2sin^2\phi cos\theta-2r^2sin\theta
[/mm]
Aber außer das Einsetzen von g in f hat das ganze nicht so viel mit der kettenregel zu tun oder?
Ist das so richtig mit dem Ableiten? Denn es heißt ja, wie sollen das nach der angegebenen Formel machen....
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich sehe irgdwie nicht wie man den Term hier vereinfachen
> kann. Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?
[mm] $f(r,\psi,\theta)=r^2\cos^2\psi\sin^2\theta+r^2\sin^2\psi\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta [/mm] $
Wie melli schon sagte, kannst Du [mm] $r^2$ [/mm] ausklammern:
[mm] $f(r,\psi,\theta)=r^2(\cos^2\psi\sin^2\theta+\sin^2\psi\sin^2\theta+\cos^2\theta) [/mm] $
und wie ich bereits erwähnte, hilft Dir das hier: $ [mm] \sin^2x+\cos^2x=1 [/mm] $ weiter:
[mm] $f(r,\psi,\theta)=r^2((\cos^2\psi+\sin^2\psi)\sin^2\theta+\cos^2\theta)=r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)$
[/mm]
Jetzt kannst Du weiter machen.
>
> Bei dem ungekürzten term habe ich:
>
> [mm]\delta_r(f\circ g)=2rcos^2\phi sin^2\theta+2rsin^2\phi sin^2\theta+2rcos^2\theta[/mm]
>
> [mm]\delta_\phi(f\circ g)=-2r^2sin\phi sin^2\theta+2r^2cos\phi sin^2\theta[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> [mm]\delta_\theta)f\circ g)=2r^2cos^2\pho cos\theta+2r^2sin^2\phi cos\theta-2r^2sin\theta[/mm]
>
> Aber außer das Einsetzen von g in f hat das ganze nicht so
> viel mit der kettenregel zu tun oder?
Doch, die Variablen kommen in verketteten Funktionen vor, also musst Du die Kettenregel verwenden.
>
> Ist das so richtig mit dem Ableiten? Denn es heißt ja, wie
> sollen das nach der angegebenen Formel machen....
Nein, davon steht in der Aufgabenstellung nichts, also kannst Du es tun wie Du willst.
Vereinfache erstmal und leite dann ab.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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jetzthabe ich den Durchblick verloren...Mein Problem beim vereinfachen war ja, dass dan [mm] \phi [/mm] rausfällt, ich kann also nicht mehr nach [mm] \phi [/mm] ableiten!
Kann ich nicht mit der nicht vereinfachten Funktion weiterarbeiten?
Was ist an den Ableitungen falsch? Und ich weiß auch nicht wie ich hier die Kettenregel anwenden soll!!
Es stand in der Aufgabenstellung, dass ich nach obiger Formel (siehe Aufgabenstellung) die Ableitungen bestimmen soll.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> jetzthabe ich den Durchblick verloren...Mein Problem beim
> vereinfachen war ja, dass dan [mm]\phi[/mm] rausfällt, ich kann
> also nicht mehr nach [mm]\phi[/mm] ableiten!
Da fällt nicht nur [mm] $\psi$ [/mm] raus. Warum kannst Du dann nicht mehr ableiten?
Kannst Du $f(x)=3$ auch nicht ableiten?
>
> Kann ich nicht mit der nicht vereinfachten Funktion
> weiterarbeiten?
Doch, das ist doch genau das was ich gesagt habe.
> Was ist an den Ableitungen falsch? Und ich weiß auch
Wenn Du die Funktion mal vereinfachen würdest und dann ableiten, würdest Du sehen, was falsch ist.
> nicht wie ich hier die Kettenregel anwenden soll!!
Wieso nicht? Wo ist das Problem?
>
> Es stand in der Aufgabenstellung, dass ich nach obiger
> Formel (siehe Aufgabenstellung) die Ableitungen bestimmen
> soll.
In der Aufgabenstellung, die Du angegeben hast steht:
"Bestimme $ [mm] \delta_r(f\circ [/mm] $ g), $ [mm] \delta_\psi(f\circ [/mm] $ g), $ [mm] \delta_\theta(f\circ [/mm] $ g) "
Da ist in keiner Weise spezifiziert, wie Du die Ableitungen bestimmen sollst. Nur, dass Du es tun sollst.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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[mm] \bruch{\delta}{\delta x_i}(f\circ g)(x)=\summe_{j=1}^{n}\delta_jf(g(x))\bruch{\delta g_j(x)}{\delta x_i}
[/mm]
Berechne mit Hilfe der Formel [mm] \delta_r(f\circ [/mm] g), [mm] \delta_\phi(f\circ [/mm] g), [mm] \delta_\theta(f\circ [/mm] g)
[mm] f(g(x))=r^2(sin^2\theta [/mm] + [mm] cos^2\theta)
[/mm]
[mm] \delta_r(f\circ g)=2r(sin^2\theta+cos^2\theta)
[/mm]
[mm] \delta_\phi(f\circ [/mm] g)= 0
[mm] \delta_r(f\circ [/mm] g)=0
Aber das kann ja so nicht stimmen oder?
MfG
Mathegirl
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Sorry, das war nur ein Tippfehler, sollte [mm] \delta_\theta(f\circ [/mm] g)=0 sein die letzte Ableitung..ok..dann scheint wohl bloß die Aufgabe etwas merkwürdig zu sein...
Danke fürs Erklären!!!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Sorry, das war nur ein Tippfehler, sollte
> [mm]\delta_\theta(f\circ[/mm] g)=0 sein die letzte
> Ableitung..ok..dann scheint wohl bloß die Aufgabe etwas
> merkwürdig zu sein...
Ich kann nichts merkwürdiges erkennen, aber das ist wohl Ansichtssache.
>
> Danke fürs Erklären!!!
Gerne.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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Noch eine letzte Frage ...
..geht zwar nicht um Kettenregel, aber kannst du mir vielleicht einen Tipp geben wie ich folgendes berechne?
[mm] \alpha=(2,1,4), f:\IR^3 \to \IR, (x_1x_2x_3)\to x_1^3x_2^4sinx_3
[/mm]
Bestimme [mm] \delta^{\alpha}f.
[/mm]
[mm] \delta^{\alpha}f(x)=\delta_1^2\delta_2^1\delta_3^4(x_1^3x_2^4sinx_3) [/mm]
Da ist mir nicht ganz klar was hier zu machen ist. leite ich bei [mm] \delta_1^2 x_1 [/mm] zweimal ab, dann [mm] \delta_2^1 x_2 [/mm] einmal ableiten und [mm] \delta_3^4 x_3 [/mm] 4 mal ableiten und dann alles zusammen addieren?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 14.05.2012 | | Autor: | notinX |
> Noch eine letzte Frage ...
>
> ..geht zwar nicht um Kettenregel, aber kannst du mir
> vielleicht einen Tipp geben wie ich folgendes berechne?
>
> [mm]\alpha=(2,1,4), f:\IR^3 \to \IR, (x_1x_2x_3)\to x_1^3x_2^4sinx_3[/mm]
>
> Bestimme [mm]\delta^{\alpha}f.[/mm]
>
> [mm]\delta^{\alpha}f(x)=\delta_1^2\delta_2^1\delta_3^4(x_1^3x_2^4sinx_3)[/mm]
>
> Da ist mir nicht ganz klar was hier zu machen ist. leite
> ich bei [mm]\delta_1^2 x_1[/mm] zweimal ab, dann [mm]\delta_2^1 x_2[/mm]
> einmal ableiten und [mm]\delta_3^4 x_3[/mm] 4 mal ableiten und dann
> alles zusammen addieren?
Mir ist diese Notation nicht bekannt, aber ich würde es (mit Ausnahme der Summation) genauso interpretieren:
[mm] $\delta_1^2\delta_2^1\delta_3^4(x_1^3x_2^4sinx_3) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial^4}{\partial z^4}x^3y^4\sin [/mm] z$
Du leitest also viermal nach z ab, dann nach y und dann zweimal nach x.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Okay, dann probier ich das mal so! danke!! :)
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 20.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Also wenn man obige Formel benutzt, dann kommt man doch auf:
[mm] \delta_r r^2*cos(\phi)*sin(\omega)+\delta_{\phi} r^2*sin(\phi)*sin(\omega)+\delta_{\omega}r^2*cos(\omega)=2r*cos(\phi)*sin(\phi)+0+0=2r*cos(\phi)*sin(\phi)
[/mm]
Ich habe glaube ich ein Verständnisproblem mit der Notation [mm] \bruch{\delta}{\delta x_i} [/mm] am Anfagn der Formel. Ich habe dies jetzt einfach als [mm] \delta_r [/mm] interpretiert. Aber dann würde es ja (und damit auch obige Rechnung) keinen Sinn machen. Da ich auf der rechten Seite die Ableitung von [mm] \delta_r [/mm] bestimmen möchte
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mo 21.05.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Also wenn man obige Formel benutzt, dann kommt man doch
> auf:
> [mm]\delta_r r^2*cos(\phi)*sin(\omega)+\delta_{\phi} r^2*sin(\phi)*sin(\omega)+\delta_{\omega}r^2*cos(\omega)=2r*cos(\phi)*sin(\phi)+0+0=2r*cos(\phi)*sin(\phi)[/mm]
>
> Ich habe glaube ich ein Verständnisproblem mit der
> Notation [mm]\bruch{\delta}{\delta x_i}[/mm] am Anfagn der Formel.
> Ich habe dies jetzt einfach als [mm]\delta_r[/mm] interpretiert.
> Aber dann würde es ja (und damit auch obige Rechnung)
> keinen Sinn machen. Da ich auf der rechten Seite die
> Ableitung von [mm]\delta_r[/mm] bestimmen möchte
Ausgehend von
$ [mm] \bruch{\partial (f\circ g)}{\partial x_i}(x)=\summe_{j=1}^{3}\bruch{\partial f}{\partial y_j}(g(x))*\bruch{\partial g_j}{\partial x_i}(x) [/mm] $ (1)
mit $ [mm] f:\IR^3 \to \IR$, $f(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2 [/mm] $
und $ [mm] g:\IR^3 \to \IR$, $g(r,\psi, \theta)=\vektor{rcos\psi sin\theta \\ rsin\psi sin\theta \\ rcos\theta} [/mm] $
sind $x = [mm] \vektor{r \\ \psi \\ \theta}$ [/mm] somit [mm] $x_1 [/mm] = r$, [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \psi$, $x_3 [/mm] = [mm] \theta$ [/mm]
und [mm] $g_1(r,\psi, \theta) [/mm] = [mm] rcos\psi sin\theta$, $g_2(r,\psi, \theta) [/mm] = [mm] rsin\psi sin\theta$, $g_3(r,\psi, \theta) [/mm] = [mm] rcos\theta$
[/mm]
und erhältst Du durch einsetzen in (1)
$ [mm] \bruch{\partial (f\circ g)}{\partial r}(r [/mm] , [mm] \psi [/mm] , [mm] \theta)=\summe_{j=1}^{3}\bruch{\partial f}{\partial y_j}(g(r,\psi, \theta))*\bruch{\partial g_j}{\partial r}(r,\psi, \theta) [/mm] $ =
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial y_1}(g(r,\psi, \theta))*\bruch{\partial g_1}{\partial r}(r,\psi, \theta) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y_2}(g(r,\psi, \theta))*\bruch{\partial g_2}{\partial r}(r,\psi, \theta) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y_3}(g(r,\psi, \theta))*\bruch{\partial g_3}{\partial r}(r,\psi, \theta)$ [/mm] =
[mm] $2*(rcos\psi sin\theta)*(cos\psi sin\theta) [/mm] + [mm] 2*(rsin\psi sin\theta)*(sin\psi sin\theta) [/mm] + 2*( [mm] rcos\theta)*(cos\theta)$
[/mm]
was sich noch weiter vereinfachen lässt.
Gruß
meili
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