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Kettenregel: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mo 13.06.2005
Autor: THO29

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Hallo!Ich habe ein Problem mit einer wichtigen Aufgabe!

Und zwar:   y= 5*ln* wurzel 1+x      y'=?
Diese Aufgabe soll mit der Kettenregel gelöst werden!Ich habe Probleme mit dem ln usw.!Wer kann mir helfen und die Aufgabe ausführlich lösen?Dringend!Danke! Gruss Thorsten

        
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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mo 13.06.2005
Autor: Fabian

Hallo Thorsten,

und herzlich [willkommenmr]

Verwende folgende Substitution , dann wird die Funktion übersichtlicher und einfacher abzuleiten!

[mm]y=5*ln(v)[/mm]   mit  [mm] v=\wurzel{x+1} [/mm]

Jetzt einfach beides ableiten und rücksubstituieren!

Also:

[mm] y'=\bruch{dy}{dv}*\bruch{dv}{dx} [/mm]

Das schaffst du jetzt aber alleine!

Gruß Fabian
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Kettenregel: Logarithmusgesetz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 13.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Thorsten (sehr schöner Name ;-), vor allen Dingen mit "h" !!)

Auch von mir [willkommenmr] !


Für den Logarithmus bzw. für seine Ableitung mußt Du folgendes wissen:

[mm] [center]$\left[ \ \ln(x) \ \right] [/mm] \ ' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$[/center] [/mm]


Wenn Du auch die MBKettenregel umgehen möchtest (falls von der Aufgabenstellung "erlaubt"), kannst Du auch zunächst eines der MBLogarithmusgesetze anwenden: [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm]


Damit wird Deine Funktion zu:  $y \ = \ [mm] 5*\ln\wurzel{1+x} [/mm] \ = \ [mm] 5*\ln\left(1+x\right)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] 5*\bruch{1}{2}*\ln(1+x)$ [/mm]

Nun kann man relativ einfach nach obiger Regel die Funktion ableiten.


Gruß
Loddar

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Kettenregel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 13.06.2005
Autor: THO29

Hallo Loddar!
Vielen Dank für Deine Antwort! Jetzt soll die Aufgabe aber mit der Kettenregel gelöst werden!Ich weiss nicht ob ich sie mit den Logaritgmusgesetzen umgehen darf!Muss die Aufgabe in 2 Tagen mündlich erklären!Kannst Du mir noch einmal eine kurze Hilfe unter Benutzung der Kettenregel geben?Danke
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Kettenregel: äußere und innere Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Mo 13.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Thorsten!


Hast Du Dir denn mal Persilous' Antwort weiter oben durchgelesen?

Die Ableitung von [mm] $\ln(z)$ [/mm] habe ich Dir ja bereits verraten weiter oben.
Das wäre die äußere Ableitung.

Wie ist denn die Ableitung von $z \ = \ [mm] \wurzel{1+x}$ [/mm] ?
Damit hast Du dann die innere Ableitung.


Nun mußt Du die MBKettenregel anwenden und rechnen:
"äußere Ableitung mal innere Ableitung".


Versuch' das doch mal und melde Dich mit Deinem Vorschlag.


Gruß
Loddar

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Kettenregel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:08 Mo 13.06.2005
Autor: THO29

Hallo Loddar!
Die aüßere Ableitung wäre dann also y= 5*ln
Abgeleitet: 5* 1/x= 5/x

Innere Ableitung:
wurzel x+1:  Ist doch auch: [mm] (x+1)^1/2 [/mm]
Abgeleitet:1/ 2*(x+1)
Stimmt das?
Danke
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Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mo 13.06.2005
Autor: THO29

Sorry!Ich meinte Innere Ableitung

y= wurzel x+1   =  [mm] (x+1)^1/2 [/mm]
Abgeleitet:
                      1/ [mm] 2*(x+1)^1/2 [/mm]
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Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mo 13.06.2005
Autor: Sigrid

Hallo Tho> Hallo Loddar!
>  Die aüßere Ableitung wäre dann also y= 5*ln
>  Abgeleitet: 5* 1/x= 5/x

Statt x musst du abere deine innere Funktion einsetzen.
>  
> Innere Ableitung:
>  wurzel x+1:  Ist doch auch: [mm](x+1)^1/2[/mm]
>  Abgeleitet:1/ 2*(x+1)
>  Stimmt das?

Leider nein! Auch nicht deine Korrektur. Du musst doch die Hochzahl um 1 erniedrigen!

Also

[mm] g(x) = (x+1)^{\bruch{1}{2}} [/mm]

Damit ist wieder nach der Kettenregel und Potenzregel

[mm] g'(x) = \bruch{1}{2}\ (x+1)^{- \bruch{1}{2}} [/mm]  (Die innere Ableitung ist hier 1.)

Gruß
Sigrid

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Kettenregel: Rückfrage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:01 Mo 13.06.2005
Autor: THO29

Hallo Loddar,Sigrid,Persilous!
Ihr seit echt Klasse!

Muss ich jetzt also 5/wurzel x+1 * 1/2(x+1)^-1/2 schreiben!

Wenn ja,muss ich dann noch weiter rechnen?Will am Mittwoch bei der mündlichen Abfrage keinen Fehler machen!Danke Euch!!!
Bezug
                                                        
Bezug
Kettenregel: Weiter ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Mo 13.06.2005
Autor: Loddar

Hallo Thorsten!


> Muss ich jetzt also 5/wurzel x+1 * 1/2(x+1)^-1/2 schreiben!

[ok]  Bitte mach' Dich doch auch mal mit unserem Formeleditor vertraut. Das macht die Sache um Klassen übersichtlicher ...
  

> Wenn ja,muss ich dann noch weiter rechnen?

Ja, Du kannst noch weiter zusammenfassen:

$y' \ = \ [mm] \bruch{5}{\wurzel{1+x}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}*(1+x)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{\wurzel{1+x}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{(1+x)^{\bruch{1}{2}}} [/mm] \ = \ ...$


Kannst Du nun selber zusammenfassen?

[aufgemerkt] Am Ende solltest Du etwas ohne Wurzel haben!


Gruß
Loddar

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