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Kettenregel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 So 12.09.2010
Autor: mvs

Aufgabe
Gegeben seien die Funktionen f,g,h : [mm] \IR\to \IR [/mm] durch

f(x)= [mm] (x^{3}+a)^{b} [/mm]
g(x)= [mm] e^{-(x-c)^{2}} [/mm]
h(x)= [mm] x^{2} [/mm]

Berechnen Sie h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x)

Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich meine Schwierigkeiten. Mein bisheriger Rechenweg sieht so aus:

zuerst habe ich g(x)= [mm] e^{-(x-c)^{2}} [/mm] binomische Formel angewendet

[mm] \Rightarrow e^{-(x^{2}-2cx+c^{2})} [/mm]

Anschliessend g [mm] \circ [/mm] f berechnet:

g [mm] \circ [/mm] f =  [mm] e^{-(((x^{3}+a)^{b})^{2}-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})} [/mm] = [mm] e^{-((x^{3}+a)^{2b})-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})} [/mm]

Schliesslich hab ich dann h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x) berechnet:

h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)(x)= [mm] (e^{-((x^{3}+a)^{2b})-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})})^{2} [/mm]

Ist die Aufgabe hiermit gelöst!? Der Term sieht ja ziemlich "unschön" aus.

Vielen Dank im voraus.

Gruß,
mvs


        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 So 12.09.2010
Autor: XPatrickX


> Gegeben seien die Funktionen f,g,h : [mm]\IR\to \IR[/mm] durch
>  
> f(x)= [mm](x^{3}+a)^{b}[/mm]
>  g(x)= [mm]e^{-(x-c)^{2}}[/mm]
>  h(x)= [mm]x^{2}[/mm]
>  
> Berechnen Sie h [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] f)(x)
>  
> Hallo, bei dieser Aufgabe habe ich meine Schwierigkeiten.

Hallo,

> Mein bisheriger Rechenweg sieht so aus:
>  
> zuerst habe ich g(x)= [mm]e^{-(x-c)^{2}}[/mm] binomische Formel
> angewendet
>  
> [mm]\Rightarrow e^{-(x^{2}-2cx+c^{2})}[/mm]

ok, aber ich hätte die Klammer nicht ausmultipliziert. Es gibt keinen Grund den Term unnötig zu "verlängern".

>
> Anschliessend g [mm]\circ[/mm] f berechnet:
>  
> g [mm]\circ[/mm] f =  
> [mm]e^{-(((x^{3}+a)^{b})^{2}-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})}[/mm] =
> [mm]e^{-((x^{3}+a)^{2b})-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})}[/mm]
>  
> Schliesslich hab ich dann h [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] f)(x)
> berechnet:
>  
> h [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ[/mm] f)(x)=
> [mm](e^{-((x^{3}+a)^{2b})-2c*((x^{3}+a)^{b})+c^{2})})^{2}[/mm]
>  
> Ist die Aufgabe hiermit gelöst!? Der Term sieht ja
> ziemlich "unschön" aus.

Das Erbgebnis ist richtig.
Hättest du am Anfang die bin. Fomrel nicht ausgerechnet, sähe das Ergebnis evtl. ein bisschen "angenehmer" aus.

Gruß Patrick

>  
> Vielen Dank im voraus.
>  
> Gruß,
>  mvs
>  


Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 So 12.09.2010
Autor: mvs

Hallo Patrick , danke für deine Antwort.

hab nun nochmal so gemacht, ohne di binomische Formel auszurechnen und der Term sieht nu bisschen besser aus =)

Gruß
mvs

Bezug
                        
Bezug
Kettenregel: Potenz von Potenz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 So 12.09.2010
Autor: HJKweseleit

Du kannst auch das letzte "hoch 2" noch verrechnen, wenn du alle Exponenten mit 2 mal nimmst, denn es ist

[mm] (a^b)^c [/mm] = [mm] a^{b*c}, [/mm] also z.B. auch [mm] (e^{-x})^2 [/mm] = [mm] e^{-2*x}. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Mo 13.09.2010
Autor: mvs

ok, danke .. hab die Tipps nun umgesetzt und bin dann zu folgendem Ergebnis gekommen:

g $ [mm] \circ [/mm] $ f = [mm] e^{-((x^{3}+a)^{b}-c)^{2}} [/mm]

h $ [mm] \circ [/mm] $ (g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(x) = [mm] (e^{-((x^{3}+a)^{b}-c)^{2}})^{2} [/mm]
              [mm] =e^{-((x^{3}+a)^{b}-c)^{4}} [/mm]

ist das nun alles richtig ?

Gruss,
mvs

Bezug
                                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Mo 13.09.2010
Autor: Sierra

Ja, das ist so korrekt.

Gruß Sierra

Bezug
                                                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 Mo 13.09.2010
Autor: mvs

danke Sierra.

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