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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Nur noch eine andere Frage.
Kann ich eine binomische Formel auch nach der Kettenregel ableiten,
oder muss ich sie vorher erst ausrechnen?
z.b. [mm] (x-1)^{2}
[/mm]
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Hallo Ice-Man,
> Nur noch eine andere Frage.
>
> Kann ich eine binomische Formel auch nach der Kettenregel
> ableiten,
> oder muss ich sie vorher erst ausrechnen?
Das steht dir frei, beides geht!
>
> z.b. [mm](x-1)^{2}[/mm]
Probiere doch mal beide Wege an diesem Bsp., es sollte am Ende dasselbe Ergebnis herauskommen 
Geh's mal an!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Dann habe ich mal ne Frage.
Ich über hier gerade ein wenig. Und habe diese Funktion.
f(x)= [mm] \bruch{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Dann habe ich angefangen zu rechne, bzw. abzuleiten.
Und dann dachte ich mir, das ich das dann so umschreibe bzw. die binomische formel auflöse.
Dann ist doch das, das selbe.
f(x)= [mm] \bruch{x^{2}-2x}{(x^{2}-2x+1)} [/mm] oder?
udn jetzt würde ich über die Quotientenregel ableiten.
Oder sollte ich vorher ausklammern?
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Hallo nochmal,
> Dann habe ich mal ne Frage.
> Ich über hier gerade ein wenig. Und habe diese Funktion.
>
> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
> Dann habe ich angefangen zu rechne, bzw. abzuleiten.
>
> Und dann dachte ich mir, das ich das dann so umschreibe
> bzw. die binomische formel auflöse.
> Dann ist doch das, das selbe.
>
> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}-2x}{(x^{2}-2x+1)}[/mm] oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist dasselbe
> udn jetzt würde ich über die Quotientenregel ableiten.
> Oder sollte ich vorher ausklammern?
Die Quotientenregel brauchst du ja für die Ableitung der Funktion in der "ursprünglichen" Darstellung, also mit dem Nenner [mm] $(x-1)^2$ [/mm] auch.
Ich würde für die Ableitung diesen Term nicht ausmultiplizieren, weil du bei der Anwendung der Quotientenregel im Zähler dann den Term $(x-1)$ ausklammern und gegen einmal $x-1$ im Nenner kürzen kannst.
Wenn du das [mm] $(x-1)^2$ [/mm] vor dem Ableiten ausmultiplizierst, ist die Gefahr höher, das zu übersehen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Gut.
Aber wenn ich dann die Quotientenregel anwende.
dann wäre doch in diesem Bsp.
u'= 2x-2 oder?
und könnte ich dann wenn ich v' bestimme, dann die binomische formel auflösen, oder muss ich v' aus der binomischen formel bestimmen?
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Hallo nochmal,
> Gut.
> Aber wenn ich dann die Quotientenregel anwende.
> dann wäre doch in diesem Bsp.
> u'= 2x-2 oder?
>
> und könnte ich dann wenn ich v' bestimme, dann die
> binomische formel auflösen, oder muss ich v' aus der
> binomischen formel bestimmen?
Du kannst beide Wege beschreiten, wenn du $v'$ nach der Kettenregel bildest, siehst du "leichter", dass sich der Faktor $x-1$ nachher einmal wegkürzen lässt.
Rechne einfach mal beide Wege komplett durch und poste sie, dann sehen wir weiter...
Habe mehr Vertrauen in deine Rechenkünste ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Wenn ich dann jetzt von der binomischen Formel [mm] (x-1)^{2} [/mm] mal ausgehe, dann würde ich wie folgt ableiten.
'= [mm] 2(x-1)^{2-1} [/mm] * (1)
wäre das soweit korrekt?
Und wenn ich da jetzt von der Funktion von mir ausgehe.
[mm] f(x)=\bruch{x(x-2)}{(x-1)^{2}}
[/mm]
Da würde ich jetzt sagen wenn ich u' und v' bestimmen müsste, das ich auf folgende schlussfolgerung kommen würde.
u'= 1*(1)
v'= [mm] 2(x-1)^{2-1} [/mm] * (1)
korrekt?
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Hallo
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}
[/mm]
belasse den Zähler, x nicht ausklammern, belasse den Nenner, nicht die Binomische Formel anwenden, du erkennst nachher, du kannst schön (x-1) kürzen:
[mm] u=x^{2}-2x
[/mm]
u'=2x-2
du hast die Produktregel falsch benutzt
[mm] v=(x-1)^{2}
[/mm]
v'=2(x-1)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na dann hatte ich doch v' richtig. Ich habe das doch nur ausführlich geschrieben.
Und wenn ich dann die Quotientenregel anwende. Dann ist das mein Ergebnis.
f'= [mm] \bruch{u'v-uv'}{v^{2}}
[/mm]
f'= (2x-2) * [mm] (x-1)^{2} [/mm] - [mm] [(x^{2}-2x) [/mm] * (2x-2)]
f'= (2x-2) * [mm] (x^{2}-2x+1) [/mm] - [mm] [(x^{2}-2x) [/mm] * (2x-2)]
f'= [mm] 2x^{3}-4x^{2}+2x-2x^{2}-4x-2-2x^{3}+2x^{2}-4x^{2}-4x
[/mm]
das wäre meine Ableitung.
ja ich müsste jetzt noch ableiten, aber wäre das soweit korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hatte mich im vorletzten Satz verschrieben.
Es muss natürlich zusammenfassen heißen, und nicht ableiten.
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Hallo
du hast nur den Zähler aus der Quotientenregel stehen
[mm] (2x-2)*(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)*2*(x-1)
[/mm]
belasse unbedingt den Zähler so, keine Klammern auflösen, was dir fehlt ist laut Quotientenregel der Nenner, schreibe den zunächst erst mit auf, dann kannst du wunderbar kürzen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja den Nenner hatte ich jetzt nicht mitgeschrieben.
Aber es müsste doch auch richtig sein, wenn ich den Zähler ausrechne und dann zusammenfasse. Oder?
Aber ok, wenn ich es anders rechne, dann steht doch da.
[mm] =\bruch{(2x-2)*(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)*2*(x-1)}{(x-1)^{4}}
[/mm]
Dann würde ich jetzt (x-1) wegkürzen.
Dann fällt doch im Zähler [mm] (x-1)^{2} [/mm] weg, und im Nenner bleibt [mm] (x-1)^{2} [/mm] stehen.
Korrekt?
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Hallo
(x-1) zu kürzen hast du richtig erkannt,
im Zähler steht dann
[mm] (2x-2)*(x-1)-(x^{2}-2x)*2
[/mm]
im Nenner steht dann
[mm] (x-1)^{3}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Und wieso kann ich das (x-1) im Zähler nicht komplett rauskürzen, so das im Nenner nur noch [mm] (x-1)^{2} [/mm] steht?
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Hallo, du hast doch vorhin richtig erkannt, (x-1) zu kürzen, damit du eine bessere Vorstellung bekommst, klammere im Zähler (x-1) aus
[mm] (x-1)*[(2x-2)*(x-1)-(x^{2}-2x)*2]
[/mm]
jetzt kannst du (x-1) kürzen, steht vor der eckigen Klammer, in Menner bleibt [mm] (x-1)^{3}, [/mm]
wenn du jetzt erneut (x-1) kürzen könntest, würde im Nenner [mm] (x-1)^{2}, [/mm] aber kannst du erneut im Zäler (x-1) ausklammern?
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Aha, und das in der eckigen Klammer kürze ich nicht, weil das eine Differenz ist.
Richtig?
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Hallo!
Wenn du aus Zähler und Nenner eines Bruches einen Term kürzt, muss das Kürzen eigentlich immer aus einem Produkt erfolgen. Und im Zähler kannst du nun kein (x-1) mehr ausklammern, also kannst du auch nicht mehr (x-1) mit dem Nenner kürzen.
Aus Differenzen und Summen darf man nicht kürzen, d.h. man darf sich nicht einfach aus einer Summe etwas raussuchen, was man gerade mal schön mit dem Nenner kürzen könnte. Folgenden wäre also FALSCH:
[mm] $\bruch{a+b}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1+b}{1} [/mm] = 1+b$
Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Na dann hatte ich doch v' richtig. Ich habe das doch nur ausführlich geschrieben.
Und wenn ich dann die Quotientenregel anwende. Dann ist das mein Ergebnis.
f'= [mm] \bruch{u'v-uv'}{v^{2}}
[/mm]
f'= (2x-2) * [mm] (x-1)^{2} [/mm] - [mm] [(x^{2}-2x) [/mm] * (2x-2)]
f'= (2x-2) * [mm] (x^{2}-2x+1) [/mm] - [mm] [(x^{2}-2x) [/mm] * (2x-2)]
f'= [mm] 2x^{3}-4x^{2}+2x-2x^{2}-4x-2-2x^{3}+2x^{2}-4x^{2}-4x
[/mm]
das wäre meine Ableitung.
ja ich müsste jetzt noch zusammenfassen, aber wäre das soweit korrekt?
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Hallo, schaue mal bitte in meine andere Antwort, Steffi
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> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}[/mm]
> ......
> ......
> f(x)= [mm]\bruch{x^{2}-2x}{(x^{2}-2x+1)}[/mm]
> und jetzt würde ich über die Quotientenregel ableiten.
> Oder sollte ich vorher ausklammern?
Hallo Ice-Man,
wenn du nun die Funktion in dieser Form hast, solltest
du den Term mal einfach anschauen !
Dann wäre doch dies möglich:
[mm] $f(x)=\bruch{x^{2}-2x}{(x^{2}-2x+1)}=\bruch{(x^{2}-2x+1)-1}{(x^{2}-2x+1)}=\bruch{(x^{2}-2x+1)}{(x^{2}-2x+1)}-\bruch{1}{(x^{2}-2x+1)}=1-(x-1)^{-2}$
[/mm]
Und um dies abzuleiten, nimmst du nun am besten
die Potenzregel (und Kettenregel).
So schöne Gelegenheiten, sich das Leben etwas zu
vereinfachen, sollte man sich doch lieber nicht ent-
gehen lassen ...
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, das verstehe ich, aber wo bekommst du denn in deiner 2. Gleichung die -1 bzw. +1 im Zähler her?
Das verstehe ich nicht.
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> Ja, das verstehe ich, aber wo bekommst du denn in deiner 2.
> Gleichung die -1 bzw. +1 im Zähler her?
Weil es nicht verboten ist - und weil es nützt !
(etwa so, wie im Vakuum ständig virtuelle
Teilchen entstehen und gleich wieder ver-
schwinden, als ob nichts gewesen wäre ...)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 07.06.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Wie meinst du das mit "zulässiger Hokuspokus"?
Ich versteh das nicht.
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Hallo!
Der "zulässige HokusPokus" ist das Hinzufügen einer "nahrhaften 0", d.h. einfach etwas dazuaddieren und gleich wieder abziehen. Es ist doch egal ob ich schreibe
0
oder
+1-1
beides ist Null, oder?
Manchmal kann man aber gerade diesen Sachverhalt nutzen, in vielen wichtigen Beweisen wird er gebraucht. In deinem Fall war er einfach nur nützlich, weil man so auf eine leichtere Form der Funktion kommt.
Im Grunde wurde also Folgendes gemacht:
[mm] $\bruch{x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}-2x+0}{x^{2}-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}-2x+\overbrace{(1-1)}^{=0}}{x^{2}-2x+1} [/mm] = [mm] \bruch{(x^{2}-2x+1)-1}{x^{2}-2x+1} [/mm] = ...$
Viele Grüße, Stefan.
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