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Kettenregel: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Fr 05.09.2008
Autor: jennifer2191

Aufgabe
Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. Berechnen sie die Ableitung an der angegebenen Stelle [mm] x_{0}. [/mm]

a) [mm] f(x)=(2\wurzel{x}-x)^³ [/mm] ; [mm] x_{0}=16 [/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{1}{(x³-x)²} [/mm] ; [mm] x_{0}=4 [/mm]
c) [mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x [/mm] ; [mm] x_{0}=1 [/mm]
d) [mm] f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x}) [/mm] , [mm] x_{0}=2 [/mm]

Hallo zusammen

ich habe diese Aufgaben schon gelöst und wollte von euch wissen, ob das Ergebnis nun richtig ist, da mein Leherer dies am Montag einsammeln wollte.

hier meine ergebnisse:

zu a) [mm] f´(x)=3(2\wurzel{x}-x)²*(\bruch{1}{\wurzel{x}}-1) [/mm]
        mit 16 eingesetzt: f´(x)=-144

zu b) [mm] f´(x)=-2(x³-x)^{-3}*(3x²-1) [/mm] = [mm] \bruch{-2(3x²-1)}{(x³-x)³} [/mm]
         mit 4 eingesetzt: f´(x)= [mm] -\bruch{47}{108000} [/mm]

zu c) das muss ich ausführlich machen, weil mir da glaub ich ein fehler unterlaufen ist:

        [mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x [/mm]

f(x)=u(v(x))
[mm] v(x)=\bruch{1}{4}-x [/mm]
v´(x)=-1
u(v)=cos(v)+x
u´(v)=-sin(v)+1
f´(x)=u´(v(x))*v´(x)
       = [mm] -sin(\bruch{1}{4}-x)+1-1 [/mm]
        [mm] =-sin(\bruch{1}{4}-x) [/mm]

mit 1 eingesetzt hab ich dann [mm] \approx1,68 [/mm]

d) [mm] f´(x)=-cos(-x^{-2})+x^{-2}*(-2x^{-3}) [/mm]

Wär wirklich lieb, wenn ihr mir da helfen würdet. habe bei jeder aufgabe die kettenregel angewandt. wünsche euch ein schöe wochenende.

lg jenny

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Fr 05.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Jennifer,

> Leiten Sie ab und vereinfachen Sie das Ergebnis. Berechnen
> sie die Ableitung an der angegebenen Stelle [mm]x_{0}.[/mm]
>  
> a) [mm]f(x)=(2\wurzel{x}-x)^³[/mm] ; [mm]x_{0}=16[/mm]
>  b) [mm]f(x)=\bruch{1}{(x³-x)²}[/mm] ; [mm]x_{0}=4[/mm]
>  c) [mm]f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x[/mm] ; [mm]x_{0}=1[/mm]
>  d) [mm]f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x})[/mm] , [mm]x_{0}=2[/mm]
>  Hallo zusammen
>  
> ich habe diese Aufgaben schon gelöst und wollte von euch
> wissen, ob das Ergebnis nun richtig ist, da mein Leherer
> dies am Montag einsammeln wollte.
>
> hier meine ergebnisse:
>  
> zu a) [mm]f´(x)=3(2\wurzel{x}-x)²*(\bruch{1}{\wurzel{x}}-1)[/mm] [ok]

>          mit 16 eingesetzt: f´(x)=-144

[daumenhoch]

>  
> zu b) [mm]f´(x)=-2(x³-x)^{-3}*(3x²-1)[/mm] =  [mm]\bruch{-2(3x²-1)}{(x³-x)³}[/mm] [ok]

>           mit 4 eingesetzt: f´(x)= [mm]-\bruch{47}{108000}[/mm]

[daumenhoch]

>  
> zu c) das muss ich ausführlich machen, weil mir da glaub
> ich ein fehler unterlaufen ist:
>
> [mm]f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x[/mm]
>  
> f(x)=u(v(x))
>  [mm]v(x)=\bruch{1}{4}-x[/mm]
>  v´(x)=-1
>  u(v)=cos(v)+x
>  u´(v)=-sin(v)+1
>  f´(x)=u´(v(x))*v´(x)
>         = [mm]-sin(\bruch{1}{4}-x)+1-1[/mm]
>          [mm]=-sin(\bruch{1}{4}-x)[/mm] [notok]

Hier hast du was durcheinandergeworfen.

f ist von der Gestalt $f(x)=u(v(x))+w(x)$, das x am Ende ist als Summand angefügt, das kannste so nicht mit "reinziehen"

Deine abzuleitende Funktion ist eine Summe [mm] $f(x)=\red{\cos\left(\frac{1}{4}-x\right)} \green{+} \blue{x}$ [/mm] , also leitest du mit der Summenregel beide Summanden einzeln ab.

[mm] $f'(x)=\red{\left[\cos\left(\frac{1}{4}-x\right)\right]'} [/mm] \ [mm] \green{+} [/mm] \ [mm] \blue{\left[x\right]'}$ [/mm]

Für den ersten Summanden (und nur für den) brauchst du die Kettenregel, der zweite ist ja selbstredend ;-)


>  
> mit 1 eingesetzt hab ich dann [mm]\approx1,68[/mm]
>  
> d) [mm]f´(x)=-cos(-x^{-2})+x^{-2}*(-2x^{-3})[/mm] [notok]

Hier schreibe mal auf, wie du das gerechnet hast, irgendwie ist hier einiges durcheinander geraten.
Auch hier wieder die Summenregel benutzen, den ersten Summanden [mm] $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ [/mm] schreiben, das kannst du locker ableiten, den anderen Summanden mit der Kettenregel verarzten ..

>  
> Wär wirklich lieb, wenn ihr mir da helfen würdet. habe bei
> jeder aufgabe die kettenregel angewandt. wünsche euch ein
> schöe wochenende.
>  
> lg jenny

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Fr 05.09.2008
Autor: jennifer2191

[mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x [/mm]
wenn ich nun die innere Funktion nehme also [mm] \bruch{1}{4}-x [/mm] hab eich die Ableitung -1

nehm ich nun die äußere funktion also cos(v) habe ich -sin(v)
zusammengefügt:

[mm] -sin(\bruch{1}{4}-x)+1 [/mm]

komme also auf das gleiche ergebnis. würde mich dazu über weitere tipps freuen...

und zur letzten nun der ausführliche weg:

[mm] f(x)=\bruch{1}{x²}+sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = [mm] x^{-2}+sin(x^{-1}) [/mm]

[mm] v(x)=x^{-1} [/mm]
[mm] v´(x)=-x^{-2} [/mm]
[mm] u(v)=x^{-2}+sin(v) [/mm]
[mm] u´(v)=-2x^{-3}+cos(v) [/mm]
[mm] f´(x)=-2x^{-3}+cos(x^{-1})*-x^{-2} [/mm]

habe die letzte aufgabe nun anders als beim letzten mal gerechnet, vielleicht stimtm dieses ergebbnis ja

lg jenny






Bezug
                        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Fr 05.09.2008
Autor: Steffi21

Hallo,


erste Aufgabe:

[mm] f(x)=cos(\bruch{1}{4}-x)+x [/mm]

[mm] f'(x)=-sin(\bruch{1}{4}-x)*( [/mm] -1 )+1

der Faktor ( -1 ) entsteht durch die innere Ableitung, also die Ableitung von [mm] \bruch{1}{4}-x [/mm]

[mm] f'(x)=sin(\bruch{1}{4}-x)+1 [/mm]

zweite Aufgabe:

so weit in Ordnung, aber [mm] -x^{-2} [/mm] setze in Klammern, es handelt sich dabei um einen Faktor, bei dir folgen zwei Rechnezeichen aufeinander, jetzt erhälst du

[mm] f'(x)=-2*x^{-3}-x^{-2}*cos(x^{-1}) [/mm]

Steffi

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