Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mi 24.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion für folgende Funktion (x [mm] $\subset$ [/mm] IR)
f(x) = sin [mm] $\wurzel{1-x}$ [/mm] (x<1)
2. Berechnen Sie die Funktionswerte (f [mm] $\circ$ [/mm] g)(9) und (g [mm] $\circ$ [/mm] f)(9) für die Verkettungen der folgenden Funktionen:
f(x) = [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] (x [mm] $\ge$ [/mm] 0) und g(x) = x²-2x
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Hallo Zusammen,
hier meine Lösung:
1.
$f'(x) = cos [mm] \cdot{} \wurzel{1-x} [/mm] - [mm] \bruch{sin x}{2 \wurzel{1-x}}$
[/mm]
müsste eigentlich stimmen, wenn nicht poste ich noch die rechenschritte.
2.
f(x) = [mm] $\wurzel{x}$
[/mm]
f(y) = [mm] $\wurzel{y}$, [/mm] f'(y) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
g(x) = x, g'(x) = 1
(f [mm] $\circ$ [/mm] g)(9)
f'(g(x)) [mm] $\cdot{}$ [/mm] g'(x)
f'(x) [mm] $\cdot{}$ [/mm] 1
f'(x) = [mm] $\bruch{1}{2 \wurzel{x}}$
[/mm]
f'(9) = [mm] $\bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx$ [/mm] 0,16
(g [mm] $\circ$ [/mm] f)(9)
g'(f(y)) [mm] $\cdot{}$ [/mm] f'(y)
[mm] $g'(\wurzel{y}) \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}}$
[/mm]
g'(y) = [mm] $\wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}}$
[/mm]
g'(9) = [mm] $\wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx$ [/mm] 0,16
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Du musst hier die  Kettenregel berücksichtigen, die besagt:
"Äußere Ableitung mal innere Ableitung."
$$f'(x) \ = \ [mm] \cos\wurzel{1-x}*\left(\wurzel{1-x} \ \right)'*(1-x)' [/mm] \ = \ [mm] \cos\wurzel{1-x}*\bruch{1}{2*\wurzel{1-x}}*(-1) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 24.10.2007 | | Autor: | itse |
Okay danke. Ich war anscheinend etwas verwirrt und habe die Produktregel und dann die Kettenregel angewandt. Diese Aufgabe ist aber nur mit der Kettenregel lösbar.
$f(x) = sin [mm] (\wurzel{1-x})$
[/mm]
f(y) = sin y, f'(y) = cos y
$g(x) = [mm] \wurzel{1-x}$ [/mm] nun muss man hierbei die Kettenregel anwenden um g'(x) zu erhalten
$f(y) = [mm] \wurzel{y}$
[/mm]
g(x) = 1-x
f'(y) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
g'(x) = -1
$f'(g(x)) [mm] \cdot{} [/mm] g'(x)$
$f'(1-x) [mm] \cdot{} [/mm] (-1)$
$g'(x) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-x}} \cdot{} [/mm] (-1)$
$g'(x) = - [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-x}}$
[/mm]
nun kann man die Ableitung f'(x) bilden:
$f'(x) = f'(g(x)) [mm] \cdot{} [/mm] g'(x)$
$f'(x) = [mm] f'(\wurzel{1-x}) \cdot{} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-x}})$
[/mm]
$f'(x) = cos [mm] \wurzel{1-x} \cdot{} [/mm] (- [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-x}})$
[/mm]
$f'(x) = - [mm] \bruch{1}{2\wurzel{1-x}} \cdot{} cos\wurzel{1-x}$
[/mm]
Jetzt müsste es stimmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, wie schon weiter oben beschrieben. Natürlich kannst du den Kosinusausdruck in den Zähler des Bruches schreiben, damit es schöner aussieht :)
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Hallo,
wir machen das gerade auch im Unterricht, und ich habe mal eine Frage dazu:
Wieso wende ich bei [mm] f(x)=sin\wurzel{1-x} [/mm] die Kettenregel an? Ist das nicht ein Produkt, also ich meine, muss ich nicht die Produktregel anwenden? Woher erkenne ich das ?
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du verwechselst [mm] f(x)=sin(\wurzel{1-x}) [/mm] sicher mit [mm] g(x)=sinx*\wurzel{1-x}.
[/mm]
Bei [mm] f(x)=sin(\wurzel{1-x}) [/mm] gibt es ja nirgendwo ein Produkt!
Statt des x, das sonst oft beim Sinus steht, steht hierfür diese Wurzel. Die normale Sinusfunkton hängt hier also von einer Wurzelfunktion ab. Deshalb ist das eine verkettete Funktion!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Informacao |
Achja.... das habe ich nicht bedacht...Aber trotzdem noch (sorry!) eine Frage  :
Wie erkenne ich denn was die äußere funktion ist und was die innere??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Brauchst dich nicht für Fragen zu entschuldigen :P
Fangen wir mal mit der inneren Funktion an: Die innere Funktion ist die Funktion, die du zuerst berechnen musst, wenn du einen Funktionswert ermitteln willst.
Wenn wir gleich [mm] f(x)=sin(\wurzel{1-x}) [/mm] nehmen, dann musst du ja erst [mm] \wurzel{1-x} [/mm] berechnen, bevor du den Sinus anwenden kannst. Deshalb ist [mm] v(x)=\wurzel{1-x} [/mm] die innere Funktion und u(x)=sin(x) die äußere. Verständlich?
Kannst dich ja mal an folgenden Sachen versuchen:
f(x)=(x+3)³
[mm] g(x)=\wurzel{4+ln(x)}
[/mm]
h(x)=ln(sin(x))
Wenn du das kannst, solltest du das Grundprinzip verstanden haben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Mi 24.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
[mm]f(x)=ln(2x+1)[/mm]
Die äußere ist ln(x) und die innere (2x+1)
Oder so:
g(x)=ln(x)
v(x)=2x+1
Dann wäre die erste Ableitung formal:
[mm]f'(x)=\frac{1}{g(x)}*v'(x)[/mm]
[mm]f'(x)=\frac{1}{2x+1}*2=\frac{2}{2x+1}[/mm]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Informacao |
Aaaah...danke! Ich glaube, dass ich zu verstehen beginne =)
Es ist ja nicht schwer...das mit dem ln hatte ich allerdings noch nicht...
Aber das wäre:
f(x)=(x+3)³
[mm] f'(x)=3*(x+3)^{2}
[/mm]
oder?
LG
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ableitung ist richtig. Aber ich meinte, dass du nur sagen sollst, was äußere und inner Funktion ist :) oder ist nun alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Informacao |
Naja, die innere müsste x³ sein..und die äußere die Klammer..aber ich bin mir nicht sicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Nein, eben nicht!
Du musst ja erst das x+3 berechnen und dann kannst du das hoch 3 nehmen.
v(x)=x+3 ist innere Funktion, u(x)=x³ äußere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
könnte sich dies jemand noch anschauen? Vielen Dank.
2. Berechnen Sie die Funktionswerte (f $ [mm] \circ [/mm] $ g)(9) und (g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(9) für die Verkettungen der folgenden Funktionen:
f(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ (x $ [mm] \ge [/mm] $ 0) und g(x) = x²-2x
__
f(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
f(y) = $ [mm] \wurzel{y} [/mm] $, f'(y) = $ [mm] \bruch{1}{2\wurzel{y}} [/mm] $
g(x) = x, g'(x) = 1
(f $ [mm] \circ [/mm] $ g)(9)
f'(g(x)) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ g'(x)
f'(x) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ 1
f'(x) = $ [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} [/mm] $
f'(9) = $ [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx [/mm] $ 0,16
(g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(9)
g'(f(y)) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ f'(y)
$ [mm] g'(\wurzel{y}) \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}} [/mm] $
g'(y) = $ [mm] \wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}} [/mm] $
g'(9) = $ [mm] \wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx [/mm] $ 0,16
Vielen Dank im Voraus.
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> könnte sich dies jemand noch anschauen? Vielen Dank.
>
Hallo,
Du könntest es potentiellen Helfern etwas leichter machen, wenn Du auch die Aufgabe mit dazuschreibst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
irgendjemand hat leider aus meiner Mitteilung eine Frage gemacht. Die Mitteilung bezog sich auf meinen ersten Post und in diesem war natürlich auch die Aufgabenstellung enthalten. Aber hier nochmal:
2. Berechnen Sie die Funktionswerte (f $ [mm] \circ [/mm] $ g)(9) und (g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(9) für die Verkettungen der folgenden Funktionen:
f(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ (x $ [mm] \ge [/mm] $ 0) und g(x) = x²-2x
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> Hallo,
>
> irgendjemand hat leider aus meiner Mitteilung eine Frage
> gemacht. Die Mitteilung bezog sich auf meinen ersten Post
> und in diesem war natürlich auch die Aufgabenstellung
> enthalten. Aber hier nochmal:
Dieser irgendjemand war ich.
Du kannst es potentiellen Helfern schwer machen, z.B. indem sie sich die benötigten Informationen aus mehreren Posts zusammenklauben müssen, oder einfach, indem Du alles mundgerecht zurechtlegst. Gerade in so langen Threads, ist das sehr sinnvoll.
Du kannst übrigens Deine eigenen Posts nachbearbeiten, z.B. die Aufgabenstellung bei Deiner Lösung einfügen. Das mach ich jetzt mal für Dich.
Gruß v. Angela
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Hallo, hier ist doch nur nach dem Funktionswert gefragt, Ableitungen sind nicht notwendig, es gilt
(f [mm] \circ [/mm] g)(x)=f(g(x)) bzw. (g [mm] \circ [/mm] f)(x)=g(f(x))
dein Beispiel:
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] g(x)=x^{2}-2x
[/mm]
[mm] (f\circ g)(x)=\wurzel{x^{2}-2x}
[/mm]
[mm] (f\circ g)(9)=\wurzel{9^{2}-2*9}= [/mm] ...
jetzt noch
(g [mm] \circ [/mm] f)(x)= ...
(g [mm] \circ [/mm] f)(9)= ...
wenn du natürlich möchtest, kannst du jederzeit noch die Ableitungen bilden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo, hier ist doch nur nach dem Funktionswert gefragt,
> Ableitungen sind nicht notwendig, es gilt
>
> (f [mm]\circ[/mm] g)(x)=f(g(x)) bzw. (g [mm]\circ[/mm] f)(x)=g(f(x))
>
> dein Beispiel:
>
> [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> [mm]g(x)=x^{2}-2x[/mm]
>
> [mm](f\circ g)(x)=\wurzel{x^{2}-2x}[/mm]
> [mm](f\circ g)(9)=\wurzel{9^{2}-2*9}=[/mm]
[mm](f\circ g)(9)=\wurzel{9^{2}-2*9}= 7,94[/mm]
> jetzt noch
> (g [mm]\circ[/mm] f)(x)= ...
> (g [mm]\circ[/mm] f)(9)= ...
[mm](g \circ f)(x)= (\wurzel{x})² - 2\wurzel{x}[/mm]
[mm](g \circ f)(9)= (\wurzel{9})² - 2\wurzel{9} = 3[/mm]
Nun müsste es passen, oder?
> wenn du natürlich möchtest, kannst du jederzeit noch die
> Ableitungen bilden,
> Steffi
Okay, angenommen die Frage würde lauten finden Sie die Ableitungen würde dann meine Lösung stimmen? Hier noch die Frage und meine Lösung zur besseren Übersicht:
2. Berechnen Sie die Funktionswerte (f $ [mm] \circ [/mm] $ g)(9) und (g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(9) für die Verkettungen der folgenden Funktionen:
f(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ (x $ [mm] \ge [/mm] $ 0) und g(x) = x²-2x
Lösung:
2.
f(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
f(y) = $ [mm] \wurzel{y} [/mm] $, f'(y) = $ [mm] \bruch{1}{2\wurzel{y}} [/mm] $
g(x) = x, g'(x) = 1
(f $ [mm] \circ [/mm] $ g)(9)
f'(g(x)) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ g'(x)
f'(x) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ 1
f'(x) = $ [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} [/mm] $
f'(9) = $ [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx [/mm] $ 0,16
(g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(9)
g'(f(y)) $ [mm] \cdot{} [/mm] $ f'(y)
$ [mm] g'(\wurzel{y}) \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}} [/mm] $
g'(y) = $ [mm] \wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{y}} [/mm] $
g'(9) = $ [mm] \wurzel{1} \cdot{} \bruch{1}{2 \wurzel{9}} \approx [/mm] $ 0,16
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Hallo,
[mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] g(x)=x^{2}-2x
[/mm]
[mm] (f\circ g)(x)=k(x)=\wurzel{x^{2}-2x}
[/mm]
[mm] (g\circ f)(x)=l(x)=x-2\wurzel{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
g'(x)=2x-2
[mm] k'(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x^{2}-2x}}*(2x-2)=\bruch{x-1}{\wurzel{x^{2}-2x}}
[/mm]
[mm] l'(x)=1-2\bruch{1}{2\wurzel{x}}=1-\bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Do 25.10.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, welche Funktion ist denn nun g(x), [mm] x^{2}-2x [/mm] oder x? Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 25.10.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo, welche Funktion ist denn nun g(x), [mm]x^{2}-2x[/mm] oder x?
> Steffi
es ist g(x) = [mm]x^{2}-2x[/mm], ich habe nur die bezeichnung doppelt verwendet.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Ableitungsfunktion f':
$f(x) = [mm] \bruch{1}{(2x²+5)³}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
als erstes kommt die Quotientenregel zum Einsatz:
u= 1 u'=0
v= (2x²+5)³
um v' zu bestimmen muss man nun die Kettenregel anwenden:
f(y) = (y)³ f'(y) = 3(y)²
g(x) = 2x²+5 g'(x) = 4x
v' = f'(g(x)) * g'(x) = f'(2x²+5) * 4x = 3(2x²+5)² * 4x
$f'(x) = [mm] \bruch{u'v - uv'}{v²} [/mm] = [mm] \bruch{0*(2x²+5)³ - 1*(3(2x²+5)²)*4x}{[(2x²+5)³]²} [/mm] = [mm] \bruch{-3(2x²+5)²)*4x}{[(2x²+5)³]²}$
[/mm]
müsste doch so stimmen. In der Lösung steht: [mm] $-\bruch{12x}{(2x²+5)^4)}$. [/mm] Ich hab mal ein paar Werte für x eingesetzt und es kommt haargenau das Selbe raus. Trotzdem möcht ich gerne wissen, wie die Musterlösung umgeformt wurde, um dies so zu erhalten. Sieht wesentlich "einfacher" aus der Term, auch wenn man für x Werte einsetzt, geht es viel schneller. Vielen Dank, itse.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen itse,
> Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Ableitungsfunktion
> f':
>
> [mm]f(x) = \bruch{1}{(2x²+5)³}[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> als erstes kommt die Quotientenregel zum Einsatz:
Bitte keine Quotientenregel hier. Wir schießen doch nicht mit Kanonen auf Spatzen.
Es geht viel leichter, wenn du umformst:
$f(x) = [mm] (2x^2 [/mm] + [mm] 5)^{-3}$
[/mm]
und jetzt sofort die Kettenregel:
$f'(x) = -3 * [mm] (2x^2 [/mm] + [mm] 5)^{-4} [/mm] * 4x$
Damit ist die Lösung unten auch klar, oder?
Gruß
Will
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 26.10.2007 | | Autor: | itse |
> Guten Morgen itse,
>
> > Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Ableitungsfunktion
> > f':
> >
> > [mm]f(x) = \bruch{1}{(2x²+5)³}[/mm]
> > Hallo Zusammen,
> >
> > als erstes kommt die Quotientenregel zum Einsatz:
>
> Bitte keine Quotientenregel hier. Wir schießen doch nicht
> mit Kanonen auf Spatzen.
> Es geht viel leichter, wenn du umformst:
>
> [mm]f(x) = (2x^2 + 5)^{-3}[/mm]
wie kommst du den auf hoch -3 ?
> und jetzt sofort die Kettenregel:
>
> [mm]f'(x) = -3 * (2x^2 + 5)^{-4} * 4x[/mm]
okay, hier ziehst du n vor und dann n -1, also -3-1 = 4.
> Damit ist die Lösung unten auch klar, oder?
nicht ganz, wenn ohne Quotientenregel, wie komme ich dann wieder zurück auf den Bruch?
> Gruß
> Will
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Hallo,
dr Exponent -3 entsteht durch die Definition der Potenz, es gilt [mm] \bruch{1}{a^{k}}=a^{-k} [/mm] für [mm] a\not=0 [/mm] und [mm] k\varepsilon \IN, [/mm] am Beispiel [mm] \bruch{1}{5^{3}}=5^{-3},
[/mm]
die Kettenregel besagt ja äußere Ableitung mal innere Ableitung, 4x entsteht durch die innere Ableitung von [mm] 2x^{2}+5, [/mm] somit steht auf dem Bruchstrich -3*4*x=-12x, der Exponent -4 kommt als Exponent 4 unter den Bruchstrich, siehe oben,
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 26.10.2007 | | Autor: | crashby |
hey,
> > [mm]f'(x) = -3 * (2x^2 + 5)^{-4} * 4x[/mm]
> nicht ganz, wenn ohne Quotientenregel, wie komme ich dann
> wieder zurück auf den Bruch?
[mm]f'(x) = -12x * (2x^2 + 5)^{-4}[/mm]
[mm]f'(x)=-12x*\frac{1}{(2x^2+5)^4}[/mm] es gilt: [mm]x^{-n}=\frac{1}{x^n}[/mm]
[mm]f'(x)=-\frac{12x}{(2x^2+5)^4}[/mm]
lg
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