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| Aufgabe | | "Die Ableitung [mm] x^a [/mm] folgt aus [mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) mit der Kettenregel." |
Hallo
es gibt im Internet eine ganze Reihe von Erklärungen, warum [mm] (x^a)' [/mm] = a [mm] x^{a-1}. [/mm] Aber in meinem Buch steht ganz nochalant dieser Satz: "Die Ableitung [mm] x^a [/mm] folgt aus [mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) mit der Kettenregel."
Ich versuche gerade, das nachzuvollziehen, mache aber anscheinend einen Fehler:
Kettenregel: (f(g(x)))' = (f'(g(x)))g'(x)
Also:
[mm] x^a [/mm] = exp(a ln(x)) = f(g(x)) mit f(x) = exp(x) und g(x) = a ln(x)
Daher:
[mm] (x^a)' [/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) ((a ln(x))')
Mit der Produktregel folgt:
(a ln(x))' = (ln(x) + [mm] \bruch{a}{x})
[/mm]
also:
[mm] (x^a)' [/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) (ln(x) + [mm] \bruch{a}{x})
[/mm]
= ln(x) [mm] x^a [/mm] + a [mm] x^{a - 1}
[/mm]
Kann mir einer erklären was ich falsch mache?
Danke,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:11 Mo 24.09.2018 | | Autor: | fred97 |
> "Die Ableitung [mm]x^a[/mm] folgt aus [mm]x^a[/mm] = exp(a ln(x)) mit der
> Kettenregel."
> Hallo
> es gibt im Internet eine ganze Reihe von Erklärungen,
> warum [mm](x^a)'[/mm] = a [mm]x^{a-1}.[/mm] Aber in meinem Buch steht ganz
> nochalant dieser Satz: "Die Ableitung [mm]x^a[/mm] folgt aus [mm]x^a[/mm] =
> exp(a ln(x)) mit der Kettenregel."
>
> Ich versuche gerade, das nachzuvollziehen, mache aber
> anscheinend einen Fehler:
>
> Kettenregel: (f(g(x)))' = (f'(g(x)))g'(x)
>
> Also:
>
> [mm]x^a[/mm] = exp(a ln(x)) = f(g(x)) mit f(x) = exp(x) und g(x) = a
> ln(x)
>
> Daher:
>
> [mm](x^a)'[/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x)) ((a
> ln(x))')
Bis hierher ist alles O.K.
>
> Mit der Produktregel folgt:
>
> (a ln(x))' = (ln(x) + [mm]\bruch{a}{x})[/mm]
Hoppla ! Da hast Du Dich vertan. Allgemein: ist a eine Konstante und h eine differenzierbare Funktion, so ist (ah(x))' = ah'(x).
Somit ist $ (a [mm] \ln(x))'=a (\ln(x))'=a \bruch{1}{x}$
[/mm]
>
> also:
>
> [mm](x^a)'[/mm] = exp(a ln(x))' = (f'(g(x)))g'(x) = exp(a ln(x))
> (ln(x) + [mm]\bruch{a}{x})[/mm]
> = ln(x) [mm]x^a[/mm] + a [mm]x^{a - 1}[/mm]
>
> Kann mir einer erklären was ich falsch mache?
>
> Danke,
>
> Martin
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