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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ein Nachhilfeschüler von mir, Klassenstufe 13, soll ein Referat über die Kettenlinie halten; auch über deren DGL.
Da bin ich jetzt selber auf eine Frage gestoßen.
Ich gehe aus von $a*y''(x) = \wurzel{1+(y')^2}$
Substitution u = y'
$a*\bruch{du}{dx} = \wurzel{1+u^2}$
$\integral \bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}\,du = \integral \bruch{1}{a}\,dx$
$arsinh(u) = \bruch{x}{a}+C$
$u = sinh\left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)$
$\integral \,dy = \integral sinh\left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right) \,dx$
$y = a*cosh \left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)+y_{0}$
Das wäre dann die Kettenlinie mit dem Scheitelpunkt S(x_{0}/a+y_0)
Soll der Scheitelpunkt im Ursprung liegen S(0/0), hätte man
$y = a*\left(cosh \left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)-1\right)$
So weit, so gut. Wenn ich die DGL aber so lösen möchte, dass ich zur Exponentialform der Kettenlinie komme:
$a*y''(x) = \wurzel{1+(y')^2}$
$a^2*(y''(x))^2 = 1+(y')^2$
$a^2*2*\bruch{d^2y}{dx^2}*\bruch{d^3y}{dx^3} = 2*\bruch{dy}{dx}*\bruch{d^2y}{dx^2}$
$\bruch{d^3y}{dx^3} = \bruch{1}{a^2}*\bruch{dy}{dx}$
$\lambda^3 = \bruch{1}{a^2}*\lambda$
\lambda_1 = 0 ; \lambda_2 = \bruch{1}{a} ; \lambda_3 = -\bruch{1}{a}
$y = C_1 + C_2*exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ C_3*exp\left(-\bruch{x}{a}\right)$
Da die Kettenlinie ein absolutes Minimum hat, gilt dort
$y'(0) = \bruch{C_2}{a}- \bruch{C_3}{a}} = 0$
C_2 = C_3 = K' C_1 = y_0
$y = K'*\left(exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)\right)+y_0$
$\bruch{K'}{2} = K$
$y = K*\left(\bruch{exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)}{2}\right)+y_0$
Wenn Die Kettenlinie nun ihren Scheitelpunkt im Ursprung haben soll, gilt:
$y(0) = K + y_0 = 0$ \gdw K = -y_0
$y = K*\left(\bruch{exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)}{2}\right)-K$
So. Nun meine Frage. Wie komme ich bei dieser Form der Herleitung darauf, dass K = a sein soll?
Einfach durch Setzung geht wohl nicht ?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Fr 11.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Martinius!
> Hallo,
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> ein Nachhilfeschüler von mir, Klassenstufe 13, soll ein
> Referat über die Kettenlinie halten; auch über deren DGL.
>
> Da bin ich jetzt selber auf eine Frage gestoßen.
>
> Ich gehe aus von [mm]a*y''(x) = \wurzel{1+(y')^2}[/mm]
>
> Substitution u = y'
>
> [mm]a*\bruch{du}{dx} = \wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{1}{\wurzel{1+u^2}}\,du = \integral \bruch{1}{a}\,dx[/mm]
>
> [mm]arsinh(u) = \bruch{x}{a}+C[/mm]
>
> [mm]u = sinh\left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)[/mm]
>
> [mm]\integral \,dy = \integral sinh\left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right) \,dx[/mm]
>
> [mm]y = a*cosh \left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)+y_{0}[/mm]
>
> Das wäre dann die Kettenlinie mit dem Scheitelpunkt
> [mm]S(x_{0}/a+y_0)[/mm]
>
> Soll der Scheitelpunkt im Ursprung liegen S(0/0), hätte man
>
> [mm]y = a*\left(cosh \left(\bruch{x-x_{0}}{a}\right)-1\right)[/mm]
>
> So weit, so gut. Wenn ich die DGL aber so lösen möchte,
> dass ich zur Exponentialform der Kettenlinie komme:
>
> [mm]a*y''(x) = \wurzel{1+(y')^2}[/mm]
>
> [mm]a^2*(y''(x))^2 = 1+(y')^2[/mm]
>
> [mm]a^2*2*\bruch{d^2y}{dx^2}*\bruch{d^3y}{dx^3} = 2*\bruch{dy}{dx}*\bruch{d^2y}{dx^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{d^3y}{dx^3} = \bruch{1}{a^2}*\bruch{dy}{dx}[/mm]
>
> [mm]\lambda^3 = \bruch{1}{a^2}*\lambda[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0 ; [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] ; [mm]\lambda_3[/mm] =
> [mm]-\bruch{1}{a}[/mm]
>
> [mm]y = C_1 + C_2*exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ C_3*exp\left(-\bruch{x}{a}\right)[/mm]
>
> Da die Kettenlinie ein absolutes Minimum hat, gilt dort
>
> [mm]y'(0) = \bruch{C_2}{a}- \bruch{C_3}{a}} = 0[/mm]
>
> [mm]C_2[/mm] = [mm]C_3[/mm] = K' [mm]C_1[/mm] = [mm]y_0[/mm]
>
> [mm]y = K'*\left(exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)\right)+y_0[/mm]
>
> [mm]\bruch{K'}{2} = K[/mm]
>
>
> [mm]y = K*\left(\bruch{exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)}{2}\right)+y_0[/mm]
>
> Wenn Die Kettenlinie nun ihren Scheitelpunkt im Ursprung
> haben soll, gilt:
>
> [mm]y(0) = K + y_0 = 0[/mm] [mm]\gdw[/mm] K = [mm]-y_0[/mm]
>
> [mm]y = K*\left(\bruch{exp\left(\bruch{x}{a}\right)+ exp\left(-\bruch{x}{a}\right)}{2}\right)-K[/mm]
>
> So. Nun meine Frage. Wie komme ich bei dieser Form der
> Herleitung darauf, dass K = a sein soll?
Wenn du deine Lösung wieder in die DGL [mm] a^2(y'')^2 = 1+(y')^2 [/mm] einsetzt, kommt a=K heraus.
Du hast diese DGL in einem Zwischenschritt noch einmal abgeleitet; dabei fällt der "1+"-Term weg. Ohne den könntest du die Konstante K beliebig wählen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort!
Lieben Gruß,
Martinius
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