Kettenbruch < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] x_1,x_2,...,x_n [/mm] Variablen. Mit [mm] \Delta(x_1,...,x_n) [/mm] bezeichnen wir die Determinante der nxn-Matrix
[mm] \pmat{ x_1 & 1&0&0&\ldots &0&0 \\ -1 & x_2&1 & 0&\ldots &0&0\\ 0&-1&x_3 & 1&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &x_{n-1}&1\\0 & 0&0&0&\ldots &-1&x_n }
[/mm]
Beweisen Sie mit Induktion dass für alle [mm] n\ge [/mm] 2 der Kettenbruch [mm] [x_1,x_2,...,x_n] [/mm] gleich
[mm] \bruch{\Delta(x_1,...,x_n)}{\Delta(x_2,...,x_n)} [/mm] ist. Berechnen Sie mit Hilfe der Determinanten [mm] \Delta(x_1,...,x_n) [/mm] das Produkt der 2x2-Matrizen
[mm] \pmat{ x_1 & 1 \\ 1 & 0 }\pmat{ x_2 & 1 \\ 1 & 0 }\ldots\pmat{ x_n & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] |
Hallo zusammen,
Beweis mit Induktion:
Induktionsanfang für n=2: [mm] [x_1,x_2]=x_1+\bruch{1}{x_2}=\bruch{x_1x_2+1}{x_2}=\bruch{\Delta(x_1,x_2)}{\Delta(x_2)}
[/mm]
Induktionsbehauptung: Die Behautung gelte für ein beliebiges n
Induktionsschritt [mm] n\rightarrow [/mm] n+1
Ich habe die Matrix nun mit der LR Zerlegung zerlegt:
Also
[mm] L=\pmat{ 1& 0&0&0&\ldots &0&0 \\ l_2 & 1&0 & 0&\ldots &0&0\\ 0&l_3&1 & 0&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &1&0\\0 & 0&0&0&\ldots &l_n&1 }
[/mm]
[mm] R=\pmat{ u_1&1&0&0&\ldots &0&0 \\ 0 & u_2&1 & 0&\ldots &0&0\\ 0&0&u_3 & 1&\ldots & 0& 0\\ \ldots & \ldots&\ldots & \ldots&\ldots &\ldots&\ldots\\0 & 0&0&0&\ldots &u_{n-1}&1\\0 & 0&0&0&\ldots &0&u_n }
[/mm]
wobei, [mm] u_1=x_1,\;\; l_i=-\bruch{1}{u_{i-1}},\;\;\; u_i=x_i-l_i [/mm] für i=2,...,n+1
Also [mm] Det(A)=Det(LR)=Det(R)=\produkt_{i=1}^{n+1}u_i=x_1\produkt_{i=2}^{n+1}x_i+\bruch{1}{u_{i-1}}x_i\produkt_{i=2}^{n+1}[x_i,u_{i-1}]
[/mm]
Ich komme leider nich weiter bzw wäre mein Ansatz soweit richtig? Danke schonmal im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 21.06.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Vielleicht ist es einfacher, die Determinante mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes darzustellen. Entwickle nach der letzten Spalte oder Zeile...
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