"Kette" von Untervektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Do 07.05.2015 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm] f:V{\to}V [/mm] eine lineare Abbildung mit [mm] f^{N}=f{\circ} f{\circ}... {\circ}f [/mm] (N mal)=0 für ein N>0. Zu zeigen ist: Es gilt [mm] f^{n}=0
[/mm]
Hinweis: Man kann folgende Kette absteigender Untervektorräume betrachten:
[mm] V{\supseteq}Im(f){\supseteq}Im(f^{2}){\supseteq}... {\supseteq}Im(f^{n})... {\supseteq}Im(f^{N})={0} [/mm] und zeige, dass stets [mm] Im(f^{j}){\supset} Im(f^{j+1}) [/mm] gilt, falls [mm] f^{j}{\not=}0 [/mm] |
Hallo! Da ich die letzten paar male leider einige Vorlesungen verpassen musste, habe ich bei dieser Aufgabe einige Probleme, vor allem beim Ansatz. Wie lässt sich das zeigen?
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
Besten Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]f:V{\to}V[/mm] eine
> lineare Abbildung mit [mm]f^{N}=f{\circ} f{\circ}... {\circ}f[/mm]
> (N mal)=0 für ein N>0. Zu zeigen ist: Es gilt [mm]f^{n}=0[/mm]
> Hinweis: Man kann folgende Kette absteigender
> Untervektorräume betrachten:
> [mm]V{\supseteq}Im(f){\supseteq}Im(f^{2}){\supseteq}... {\supseteq}Im(f^{n})... {\supseteq}Im(f^{N})={0}[/mm]
> und zeige, dass stets [mm]Im(f^{j}){\supset} Im(f^{j+1})[/mm] gilt,
> falls [mm]f^{j}{\not=}0[/mm]
> Hallo! Da ich die letzten paar male leider einige
> Vorlesungen verpassen musste, habe ich bei dieser Aufgabe
> einige Probleme, vor allem beim Ansatz. Wie lässt sich das
> zeigen?
> Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?
was genau ist Deine Frage? Warum der Ansatz zum Ziel führt?
Dahingehend mache eine Fallunterscheidung: Was ist, wenn es ein [mm] $\ell \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $f^{\ell}=0$ [/mm] gibt?
Interessant wird es ja eigentlich erst, wenn es ein solches nicht gibt:
Wenn
[mm]V{\supseteq}Im(f){\supseteq}Im(f^{2}){\supseteq}... {\supseteq}Im(f^{n})... {\supseteq}Im(f^{N})={0}[/mm] und [mm]Im(f^{j}){\supset} Im(f^{j+1})[/mm] für alle [mm] $j\,$ [/mm] mit [mm]f^{j}{\not=}0[/mm]
dann kannst Du sagen:
[mm] $\dim(V)=n \ge \dim(Im(f))$
[/mm]
und falls [mm] $f^2=f \circ [/mm] f [mm] \neq [/mm] 0$ folgt
[mm] $\dim(V)=n \ge \dim(Im(f)) [/mm] > [mm] \dim(Im(f^2))$
[/mm]
und falls auch [mm] $f^3=f \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] f [mm] \neq [/mm] 0$ folgt
(*) [mm] $\dim(V)=n \ge \dim(Im(f)) [/mm] > [mm] \dim(Im(f^2)) [/mm] > [mm] \dim(Im(f^3))$
[/mm]
usw. usf.
Falls also [mm] $f(=f^1), f^2, f^3, [/mm] ..., [mm] f^k$ [/mm] alle nicht die Nullabbildung, so folgt somit
[mm] $\dim(Im(f^k)) \red{\,\le\,}n-k$.
[/mm]
Nun zu der ersten Kette: Sei [mm] $f^k \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$. Dann ist
[mm] $f^{k+1}=f \circ (f^k) \colon f^k(V)=Im(f^k) \to [/mm] V$.
Zu zeigen: [mm] $Im(f^{k+1})\;\subseteq\;Im(f^{k})$
[/mm]
Sei dazu $y [mm] \in Im(f^{k+1})\,.$ [/mm] Dann existiert ein $x [mm] \in D_f(f^{k+1})=f^k(V)=Im(f^k)$ [/mm] mit
[mm] $y=f^{k+1}(x)=(f \circ f^{k})(x)$.
[/mm]
Wegen $f [mm] \circ f^k=f^k \circ [/mm] f$ (überzeuge Dich davon, dass das hier gilt!)
[mm] $y=(f^k \circ f)(x)=f^k(\;f(x)\;)$.
[/mm]
Wegen $f [mm] \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ ist [mm] $\mathbf{\red{z}}:=f(x) \in [/mm] Im(f) [mm] \subseteq [/mm] V$.
Aus
[mm] $y=f^k(\;\mathbf{\red{z}}\;)$
[/mm]
mit [mm] $\mathbf{\red{z}}=f(x)\in [/mm] V$ folgt $y [mm] \in f^k(V)=Im(f^k)$.
[/mm]
Gezeigt wurde: Für (jedes beliebige) $y [mm] \in Im(f^{k+1})$ [/mm] folgt $y [mm] \in Im(f^k)$.
[/mm]
Was noch zu zeigen bleibt: Aus [mm] $f^j \neq [/mm] 0$ folgt [mm] $Im(f^{j}) \supsetneqq Im(f^{j+1})$, [/mm] also
dass in diesem Fall die obige Teilmengenbeziehung auch echt ist. (Damit
man etwa in (*) die > rechtfertigen kann; bisher könnten wir nur [mm] $\ge$ [/mm] rechtfertigen...)
Dabei kann es gut sein, dass der Dimensionssatz für lineare Abbildungen
hilft...
Btw.: Ist [mm] $f^q=0$ [/mm] für ein $q [mm] \in \IN$, [/mm] so folgt wegen
[mm] $f^r=f^q \circ (f^{r-q})$
[/mm]
sofort auch [mm] $f^r=0$ [/mm] für alle natürlichen $r > q$...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
P.S.
> Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]f:V{\to}V[/mm] eine
> lineare Abbildung mit [mm]f^{N}=f{\circ} f{\circ}... {\circ}f[/mm]
> (N mal)=0 für ein N>0. Zu zeigen ist: Es gilt [mm]f^{n}=0[/mm]
Kannst Du bitte nochmal nachgucken, ob nicht vielleicht "nur"
[mm] $f^{n+1}=0$
[/mm]
gilt? Mit den erwähnten Überlegungen würde obiges, soweit ich das
gerade überblicke, nur gelten, falls [mm] $Im(f)=Im(f^1) \subsetneqq [/mm] V$.
Vielleicht folgt das aber auch aus den anderen Voraussetzungen, das
ist mir so auf die Schnelle nicht ganz klar...
(Obwohl es wahrscheinlich so sein wird; und wenn man das weiß, dann
ist direkt [mm] $\dim(V) [/mm] > [mm] \dim(Im(f))$ [/mm] und damit [mm] $\dim(Im(f)) \le [/mm] n-1$..., dann klappt
alles so, wie es in der Aufgabe steht!
D.h. vermutlich musst Du noch ergänzend zeigen: Aus [mm] $f^N=0$ [/mm] folgt
$Im(f) [mm] \subsetneqq [/mm] V$!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 07.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> P.S.
>
> > Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]f:V{\to}V[/mm] eine
> > lineare Abbildung mit [mm]f^{N}=f{\circ} f{\circ}... {\circ}f[/mm]
> > (N mal)=0 für ein N>0. Zu zeigen ist: Es gilt [mm]f^{n}=0[/mm]
>
> Kannst Du bitte nochmal nachgucken, ob nicht vielleicht
> "nur"
>
> [mm]f^{n+1}=0[/mm]
>
> gilt? Mit den erwähnten Überlegungen würde obiges,
> soweit ich das
> gerade überblicke, nur gelten, falls [mm]Im(f)=Im(f^1) \subsetneqq V[/mm].
>
> Vielleicht folgt das aber auch aus den anderen
> Voraussetzungen, das
> ist mir so auf die Schnelle nicht ganz klar...
> (Obwohl es wahrscheinlich so sein wird; und wenn man das
> weiß, dann
> ist direkt [mm]\dim(V) > \dim(Im(f))[/mm] und damit [mm]\dim(Im(f)) \le n-1[/mm]...,
> dann klappt
> alles so, wie es in der Aufgabe steht!
>
> D.h. vermutlich musst Du noch ergänzend zeigen: Aus [mm]f^N=0[/mm]
> folgt
> [mm]Im(f) \subsetneqq V[/mm]!)
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
angenommen, es wäre Im(f)=V, also f(V)=V ( f ist dann surjektiv und weil V endlichdimensional ist, ist f dann bijektiv).
Dann haben wir auch [mm] f^2(V)=f(f(V))=f(V)=V, [/mm] etc...
Also: [mm] f^N(V)=V. [/mm] Nun ist aber [mm] f^N=0.......
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Do 07.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > P.S.
> >
> > > Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]f:V{\to}V[/mm] eine
> > > lineare Abbildung mit [mm]f^{N}=f{\circ} f{\circ}... {\circ}f[/mm]
> > > (N mal)=0 für ein N>0. Zu zeigen ist: Es gilt [mm]f^{n}=0[/mm]
> >
> > Kannst Du bitte nochmal nachgucken, ob nicht vielleicht
> > "nur"
> >
> > [mm]f^{n+1}=0[/mm]
> >
> > gilt? Mit den erwähnten Überlegungen würde obiges,
> > soweit ich das
> > gerade überblicke, nur gelten, falls [mm]Im(f)=Im(f^1) \subsetneqq V[/mm].
>
> >
> > Vielleicht folgt das aber auch aus den anderen
> > Voraussetzungen, das
> > ist mir so auf die Schnelle nicht ganz klar...
> > (Obwohl es wahrscheinlich so sein wird; und wenn man
> das
> > weiß, dann
> > ist direkt [mm]\dim(V) > \dim(Im(f))[/mm] und damit [mm]\dim(Im(f)) \le n-1[/mm]...,
> > dann klappt
> > alles so, wie es in der Aufgabe steht!
> >
> > D.h. vermutlich musst Du noch ergänzend zeigen: Aus [mm]f^N=0[/mm]
> > folgt
> > [mm]Im(f) \subsetneqq V[/mm]!)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> angenommen, es wäre Im(f)=V, also f(V)=V ( f ist dann
> surjektiv und weil V endlichdimensional ist, ist f dann
> bijektiv).
>
> Dann haben wir auch [mm]f^2(V)=f(f(V))=f(V)=V,[/mm] etc...
>
> Also: [mm]f^N(V)=V.[/mm] Nun ist aber [mm]f^N=0.......[/mm]
so *grob* hatte ich das schon im Kopf durchgespielt. Aber solange ich es
mir nicht aufgeschrieben habe, hadere ich damit immer, weil man ja
eventuell doch eine Kleinigkeit nicht bedacht haben könnte.
Das Wichtigste waren mir aber die anderen Argumente. Ich hoffe mal, dass
die *Skizze* keine Tücken oder Lücken enthält. ^^
Jedenfalls: Schöne Ergänzung! Danke! 
Gruß,
Marcel
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