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| Aufgabe | Es seien die Matrix
A := [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0 } \in \mathbb{Z}_{3}^{4x5}
[/mm]
sowie die Vektoren [mm] b_{1} [/mm] := (0,0,1,0), [mm] b_{2} [/mm] := (1,0,1,1) [mm] \in \mathbb{Z}_{3}^4 [/mm] gegeben. Es sei [mm] \varphi_{A} [/mm] die lineare Abbildung [mm] \varphi_{A} [/mm] : [mm] \mathbb{Z}_{3}^5 \rightarrow \mathbb{Z}_{3}^4, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax.
Bestimmen Sie [mm] Kern(\varphi_{A}), \varphi_{A}^{-1} ({b_{1}}), \varphi_{A}^{-1} ({b_{2}}) [/mm] und geben Sie [mm] \left| Kern(\varphi_{A}) \right|, \left| \varphi_{A}^(-1) ({b_{1}}) \right|, \left| \varphi_{A}^(-1) ({b_{2}}) \right| [/mm] an. |
Hallo,
ich bins mal wieder mit einer wahrscheinlich vollkommen trivialen Frage, allerdings blicke ich gerade nicht dahinter.
Um [mm] Kern(\varphi_{A}) [/mm] auszurechnen, löse ich das homogene Gleichungssystem A und erhalte
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und somit
{(r-s, t-r-s, r, s, t) | r,s,t [mm] \in \mathbb{Z}_3 [/mm] }
Jetzt setz ich jeweils r, s und t 1 und erhalte als Gleichung
{r(1,-1,1,0,0) + s(-1,-1,0,1,0) + t(0,1,0,0,1) | r,s,t [mm] \in \mathbb{Z}_3 [/mm] }
Nun kommt das Problem.. In der Lösung steht im nächsten Schritt als Lösungsmenge
{(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)}
und genau hier setzt es aus.. Folgeaufgaben bekomme ich mit der Lösung auch nicht hin. Ich hoffe, es kann mir jemand behilflich sein. 
LG Bananenmann86
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien die Matrix
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> A := [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & -1 & 0 } \in \mathbb{Z}_{3}^{4x5}[/mm]
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> sowie die Vektoren [mm]b_{1}[/mm] := (0,0,1,0), [mm]b_{2}[/mm] := (1,0,1,1)
> [mm]\in \mathbb{Z}_{3}^4[/mm] gegeben. Es sei [mm]\varphi_{A}[/mm] die
> lineare Abbildung [mm]\varphi_{A}[/mm] : [mm]\mathbb{Z}_{3}^5 \rightarrow \mathbb{Z}_{3}^4,[/mm]
> x [mm]\mapsto[/mm] Ax.
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> Bestimmen Sie [mm]Kern(\varphi_{A}), \varphi_{A}^{-1} ({b_{1}}), \varphi_{A}^{-1} ({b_{2}})[/mm]
> und geben Sie [mm]\left| Kern(\varphi_{A}) \right|, \left| \varphi_{A}^(-1) ({b_{1}}) \right|, \left| \varphi_{A}^(-1) ({b_{2}}) \right|[/mm]
> an.
> Hallo,
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> ich bins mal wieder mit einer wahrscheinlich vollkommen
> trivialen Frage, allerdings blicke ich gerade nicht
> dahinter.
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> Um [mm]Kern(\varphi_{A})[/mm] auszurechnen, löse ich das homogene
> Gleichungssystem A und erhalte
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und somit
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> {(r-s, t-r-s, r, s, t) | r,s,t [mm]\in \mathbb{Z}_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Jetzt setz ich jeweils r, s und t 1 und erhalte als
> Gleichung
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> {r(1,-1,1,0,0) + s(-1,-1,0,1,0) + t(0,1,0,0,1) | r,s,t [mm]\in \mathbb{Z}_3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
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> Nun kommt das Problem.. In der Lösung steht im nächsten
> Schritt als Lösungsmenge
>
> \{(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)\}
Hallo,
diese Lösungsmenge ist zu klein.
Es gehören doch schonmal die -1-fachen der obigen Vektoren auch in die Lösungsmenge.
Ich denke, daß es heißen sollte L=<(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)>, oder L= LH\{(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)\} oder wie auch immer Ihr das schreibt.
Die Lösungsmenge ist der von diesen drei Vektoren aufgespannte Raum.
Gruß v. Angela
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Oh ja, tut mir leid, das sollten keine geschweiften Klammern sein in der Lösungsmenge.
L=<(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)>
ist korrekt. So steht es auch in der Lösung.
Ich verstehe allerdings den Übergang zu dieser Zeile nicht.
Wie komme ich von
{r(1,-1,1,0,0) + s(-1,-1,0,1,0) + t(0,1,0,0,1) | r,s,t [mm] \in \mathbb{Z}_3 [/mm] }
zu der Lösungsmenge?
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Hallo Bananenmann86,
> Oh ja, tut mir leid, das sollten keine geschweiften
> Klammern sein in der Lösungsmenge.
>
> L=<(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(0,1,0,0,1)>
>
> ist korrekt. So steht es auch in der Lösung.
>
> Ich verstehe allerdings den Übergang zu dieser Zeile
> nicht.
> Wie komme ich von
>
> [mm] $\{r(1,-1,1,0,0) + s(-1,-1,0,1,0) + t(0,1,0,0,1) | r,s,t \in \mathbb{Z}_3\}$
[/mm]
>
> zu der Lösungsmenge?
Na, das sind doch äquivalente Darstellungen der Lösungsmenge, ob du das als Spann der Vektoren oder als Menge aller LKen schreibst, ist doch einerlei.
Schaue dir mal die Definition "Spann" an.
Es ist doch [mm] $<\vec{a},\vec{b},\vec{c}>_{\mid\IZ_3}$ [/mm] die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren [mm] $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ [/mm] in [mm] $\IZ_3$, [/mm] also [mm] $<\vec{a},\vec{b},\vec{c}>_{\mid\IZ_3}=\{r\cdot{}\vec{a}+s\cdot{}\vec{b}+t\cdot{}\vec{c}\mid r,s,t\in\IZ_3\}$
[/mm]
So ist das doch definiert ...
Gruß
schachuzipus
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Aber der zweite Vektor ist in beiden Darstellungen anders. Laut deiner Definition (Lineare Hülle) müsste doch beide male das gleiche da stehen, was dann wiederum Sinn ergibt.
Einmal steht da (1,1,0,-1,0) und einmal (-1,-1,0,1,0). Das irritiert mich gerade ein wenig.. Möglicherweise ein Tippfehler in der Lösung oder habe ich wieder etwas falsch verstanden?
LG Bananenmann
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> Aber der zweite Vektor ist in beiden Darstellungen anders.
> Laut deiner Definition (Lineare Hülle) müsste doch beide
> male das gleiche da stehen, was dann wiederum Sinn ergibt.
> Einmal steht da (1,1,0,-1,0) und einmal (-1,-1,0,1,0). Das
> irritiert mich gerade ein wenig.. Möglicherweise ein
> Tippfehler in der Lösung oder habe ich wieder etwas falsch
> verstanden?
>
> LG Bananenmann
Hallo,
wenn die Vektoren u,v,w einen Raum aufspannen, dann tun es -u, -v, -w genauso, und auch u,-v, w und andere.
Du kannst Dir das anhand der Def. des aufgespannten Raumes überlegen.
(Trotzdem sollte sicher eigentlich dasselbe dastehen - aber es ist wurscht.)
Gruß v. Angela
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Alles klar. Dann vielen Dank für die Ausführungen.
LG Bananenmann86
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