Kern und Rang < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mi 07.03.2012 | | Autor: | Lunar |
| Aufgabe | Seien φ: V → W und ψ: W → U zwei lineare Abbildungen, wobei die Vektorräume U, V, W endliche Dimensionen haben. Wir untersuchen die Komposition
ψ◦φ:V →U. Zeige:
(a) Kern(ψ ◦ φ) ⊃ Kern(φ).
(b) Rang(ψ ◦ φ) ≤ min(Rang φ, Rang ψ). |
Hallo!
Bin auf einige Probleme gestossen, beim Beweisen dieser zwei Aussagen.
Ich habe einfach gar keinen brauchbaren Ansatz.
a) ist mir intuitiv eigentlich klar, aber das reicht ja wohl nicht für eienen Beweis ;)
Hat jemand eine Idee, wie man so etwas angehen kann?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mi 07.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien φ: V → W und ψ: W → U zwei lineare Abbildungen,
> wobei die Vektorräume U, V, W endliche Dimensionen haben.
> Wir untersuchen die Komposition
> ψ◦φ:V →U. Zeige:
> (a) Kern(ψ ◦ φ) ⊃ Kern(φ).
> (b) Rang(ψ ◦ φ) ≤ min(Rang φ, Rang ψ).
> Hallo!
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> Bin auf einige Probleme gestossen, beim Beweisen dieser
> zwei Aussagen.
> Ich habe einfach gar keinen brauchbaren Ansatz.
> a) ist mir intuitiv eigentlich klar, aber das reicht ja
> wohl nicht für eienen Beweis ;)
Wenn man zeigen soll, das einTopf in einem anderen enthalten ist, nimmt man sich ein Element aus dem 1. Topf und zeigt, dass es auch im anderen Topf liegt.
1. Topf: [mm] Kern(\phi), [/mm] anderer Topf: Kern( [mm] \psi \circ \psi)
[/mm]
x [mm] \in [/mm] Kern [mm] (\phi) [/mm] ==> [mm] \phi(x)=0 [/mm] ==> [mm] (\psi \circ \phi)(x)= \psi(\phi(x)) =\psi(\phi(0))=0
[/mm]
FRED
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> Hat jemand eine Idee, wie man so etwas angehen kann?
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> Vielen Dank!
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