Kern und Bild einer Lin Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Fr 08.01.2010 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Sei V die Menge aller Folgen reeller Zahlen. Definiere [mm] \gamma \in [/mm] Hom(V,V) durch [mm] \gamma(x_{1},x_{2},x_{3},...) [/mm] := [mm] (x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}, [/mm] ... )
1. Berechnen Sie [mm] dim(Kern(\gamma)).
[/mm]
2. Berechnen Sie [mm] Bild(\gamma).
[/mm]
3. Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \gamma. [/mm] Beweisen Sie, dass <{x [mm] \in [/mm] V | [mm] \gamma [/mm] (x) = [mm] \lambda [/mm] x}> die Dimension 1 hat. |
Ich weiss nicht wie man den Kern und das Bild berechnet.
Ich weiss dass die Kern [mm] \gamma [/mm] die Elemente enthält die in den 0 abgebildet werden, aber V scheint in diesem Fall unendlich VR zu sein.
Nutzt mir die Dimensionsformel was?
Danke im Vorraus.
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Hallo,
> Sei V die Menge aller Folgen reeller Zahlen. Definiere
> [mm]\gamma \in[/mm] Hom(V,V) durch [mm]\gamma(x_{1},x_{2},x_{3},...)[/mm] :=
> [mm](x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4},[/mm] ... )
>
> 1. Berechnen Sie [mm]dim(Kern(\gamma)).[/mm]
>
> 2. Berechnen Sie [mm]Bild(\gamma).[/mm]
>
> 3. Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]\gamma.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Beweisen Sie, dass
> <{x [mm]\in[/mm] V | [mm]\gamma[/mm] (x) = [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x}> die Dimension 1 hat.
> Ich weiss nicht wie man den Kern und das Bild berechnet.
> Ich weiss dass die Kern [mm]\gamma[/mm] die Elemente enthält die in
> den 0 abgebildet werden, aber V scheint in diesem Fall
> unendlich VR zu sein.
> Nutzt mir die Dimensionsformel was?
Die Dimensionsformel nützt dir wahrscheinlich nichts, weil, wie du ja schon richtig gesagt hast, V unendlichdimensional ist.
Für die ersten beiden Aufgaben reichen aber auch ein paar wohlgeordnete Überlegungen.
Wie du schon richtig bemerkt hast, suchen wir nun also alle Folgen, die auf 0 (die Nullfolge 0,0,0,0,0,...) abgebildet werden.
Dafür muss also gelten:
[mm] $\gamma(x_{1},x_{2},x_{3},...) [/mm] := [mm] (x_{1}+x_{2},x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}, [/mm] ... ) = (0,0,0,0,...)$,
also:
[mm] $x_{1}+x_{2} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{2} [/mm] = [mm] -x_{1}$
[/mm]
[mm] $x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{3}$
[/mm]
...
führt zu es muss gelten:
[mm] $x_{2n+1} [/mm] = [mm] x_{2n+3}$, $x_{2n} [/mm] = [mm] x_{2n+2}$ [/mm] für alle n.
Nun überlege, wie viele Folgen du brauchst, um dann alle Folgen dieser Form erzeugen können --> Dimension des Kerns.
Bei dem Bild fallen mir jetzt zwei Möglichkeiten ein: Du kannst ja mal eine "intuitive" Darstellungsmatrix der Abbildung aufschreiben, d.h. die dann unendlichen nach unten und rechts weitergeht. Du wirst feststellen, dass diese postuliert, dass das Bild von [mm] \gamma [/mm] wieder der ganze V ist.
Das kann man sich auch so überlegen: Wenn das erste Folgenglied [mm] a_{1} [/mm] sein soll, so wählst du [mm] x_{1} [/mm] beliebig und dann [mm] x_{2}, [/mm] dass es passt und [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] gilt. Wenn das zweite nun [mm] a_{2} [/mm] sein soll, suchst du einfach ein passendes [mm] x_{3}, [/mm] sodass [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] ist.
--> Du siehst, offenbar lässt sich mit einer geeigneten Ausgangsfolge jede beliebige Folge mit [mm] \gamma [/mm] erzeugen.
Noch ein wenig formalisieren, und dann dürftest du die Aufgaben in der Tasche haben 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 13.01.2010 | | Autor: | matt101 |
also wäre jetzt in diesem fall die dimension des kerns gleich 2?
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Hallo matt101,
> also wäre jetzt in diesem fall die dimension des kerns
> gleich 2?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gib doch mal ne Basis an ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 14.01.2010 | | Autor: | matt101 |
Also ich weiss dass die reelle Folge in V diese Eigenschaft hat:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] = [mm] x_{5} [/mm] = ....
und [mm] x_{2} =x_{4} [/mm] = [mm] x_{6}=....
[/mm]
und daraus folgt [mm] x_{2n+1} [/mm] = [mm] x_{2n +3} [/mm]
und [mm] x_{2n} [/mm] = [mm] x_{2n+2}
[/mm]
d.h. ich kann meine reelle Folge in V aus zwei terme konstruieren die linear unabhängig sind.
Also die Basis wäre [mm] x_{2n+1} [/mm] und [mm] x_{2n} [/mm] für alle N [mm] \in \IN
[/mm]
ist das richtig?
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Hiho,
wie in meiner Antwort zur Dimension bereits geschrieben, gilt zwar
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{3}[/mm] = [mm]x_{5}[/mm] = ....
>
> und [mm]x_{2} =x_{4}[/mm] = [mm]x_{6}=....[/mm]
>
> und daraus folgt [mm]x_{2n+1}[/mm] = [mm]x_{2n +3}[/mm]
> und [mm]x_{2n}[/mm] = [mm]x_{2n+2}[/mm]
ABER: Es gilt doch auch [mm] $x_1 [/mm] = [mm] -x_2$
[/mm]
Damit sind alle [mm] x_1 [/mm] bereits durch die Wahl von [mm] x_1 [/mm] festgelegt.
> d.h. ich kann meine reelle Folge in V aus zwei terme
> konstruieren die linear unabhängig sind.
Naja, [mm] x_2 [/mm] ist eben NICHT linear unabhängig von [mm] x_1.....
[/mm]
> Also die Basis wäre [mm]x_{2n+1}[/mm] und [mm]x_{2n}[/mm] für alle N [mm]\in \IN[/mm]
Hm nein, eine Basis besteht immer aus Vektoren! Was sind die Vektoren in V? Gib doch mal eine Basis aus Vektoren an 
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
> Hiho,
>
> wie in meiner Antwort zur Dimension bereits geschrieben,
> gilt zwar
>
> > [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{3}[/mm] = [mm]x_{5}[/mm] = ....
> >
> > und [mm]x_{2} =x_{4}[/mm] = [mm]x_{6}=....[/mm]
> >
> > und daraus folgt [mm]x_{2n+1}[/mm] = [mm]x_{2n +3}[/mm]
> > und [mm]x_{2n}[/mm] = [mm]x_{2n+2}[/mm]
>
> ABER: Es gilt doch auch [mm]x_1 = -x_2[/mm]
Oh wei, das hatte ich nicht gelesen, mea culpa.
Man sollte threads wahrlich aufmerksamer lesen ...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") an den Fragesteller und ein dickes Danke an Gono fürs Aufpassen!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
LG
schachuzipus
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:04 Do 14.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Also die Dimension des Kerns ist 1, da um die Nullfolge zu erhalten nur [mm] x_1 [/mm] frei gewählt werden kann, alle anderen [mm] x_i [/mm] ergeben sich aus der Wahl von [mm] x_1 [/mm] !
MFG,
Gono.
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