Kern und Bild bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | F : [mm] \IR^{4} [/mm] --> [mm] \IR^{5}
[/mm]
[mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mapsto (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}, x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}, x_{1} [/mm] + [mm] x_{3}, x_{3} [/mm] - [mm] x_{2}, x_{1} [/mm] + [mm] x_{4})
[/mm]
Untersuchen Sie auf Linearität und bestimmen sie den Bildraum und den Kern. |
Aus der Linearen Abbildung hab ich erstmal eine Matrix gemacht.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Mit dem Gauß Algorithmus komme ich auf:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Also gibt es nur die triviale Lösung
[mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0
[/mm]
Und dann ist das linear unabhängig.
Ist das bis jetzt richtig?
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Hallo,
> F : [mm]\IR^{4}[/mm] --> [mm]\IR^{5}[/mm]
>
> [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \mapsto (x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}, x_{2}[/mm]
> - [mm]x_{3}, x_{1}[/mm] + [mm]x_{3}, x_{3}[/mm] - [mm]x_{2}, x_{1}[/mm] + [mm]x_{4})[/mm]
>
> Untersuchen Sie auf Linearität und bestimmen sie den
> Bildraum und den Kern.
> Aus der Linearen Abbildung hab ich erstmal eine Matrix
> gemacht.
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
Da stecken sozusagen massenhaft Vorzeichenfehler drin.
> Mit dem Gauß Algorithmus komme ich auf:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Also gibt es nur die triviale Lösung
>
> [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0[/mm]
>
> Und dann ist das linear unabhängig.
>
> Ist das bis jetzt richtig?
Nein: an dieser Stelle hast du die Aufgabenstellung völlig missverstanden: es geht darum, die Linearität der Abbildung F nachzuweisen, also die Eigenschaft (für [mm] x,y\in\IR^4, a\in\IR)
[/mm]
F(ax+y)=aF(x)+F(y)
Was du gemacht hast ist der Versuch, durch den Nachweis der linearen Unabhängigkeit der Abbildungsmatrix die Injektivität der Abbildung F zu zeigen. Das ist dir hier a) misslungen (denn die Matrix ist linear abhängig, da sie offensichtlich Rang 4 aufweist) und b) ist es nicht gefragt.
Gruß, Diophant
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Ok, gut, ich habs verstanden :)
Aber mit dem was ich da gemacht habe kann ich da den Kern von F bestimmen, richtig?
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Hallo,
sofern du das ganze vorher nochmal auf Vorzeichenfehler beim Aufstellen der Matrix und auf Rechenfehler geprüft hast: ja.
Gruß, Diophant
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Wieso? Ist das falsch?
Ich hab doch die einzelnen Gleichungen und muss die alle gleich null setzen,
also zum Beispiel die erste:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
und damit die Gleichung erfüllt ist immer, hab ich dann die erste Zeile der Matrix mit
[mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 }
[/mm]
Und das mach ich ja bei jeder Gleichung so.
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> Wieso? Ist das falsch?
>
> Ich hab doch die einzelnen Gleichungen und muss die alle
> gleich null setzen,
> also zum Beispiel die erste:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
<==> [mm] 1*x_1+1*x_2=0
[/mm]
Hallo,
die zugehörige Zeile in der Koeffizientenmatrix lautet
1 1 0 0
Du mußt erstmal das ganze LGS in die Koeffizientenmatrix übertragen - ohne irgendwas zu denken.
LG Angela
>
> und damit die Gleichung erfüllt ist immer, hab ich dann
> die erste Zeile der Matrix mit
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 }[/mm]
>
> Und das mach ich ja bei jeder Gleichung so.
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Ok gut, ich habe jetzt das raus:
Kern F = [mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \IR^{4} | x_{1} = x_{2} und x_{2} = x_{3} und x_{3} = x_{4})}
[/mm]
Kann man das denn so schreiben?
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> Ok gut, ich habe jetzt das raus:
>
> Kern F = [mm]{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in \IR^{4} | x_{1} = x_{2} und x_{2} = x_{3} und x_{3} = x_{4})}[/mm]
>
>
> Kann man das denn so schreiben?
Hallo,
man kann das schon so schreiben, schön finde ich es nicht.
Es ist
[mm] $\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} = x_{2} und x_{2} = x_{3} und x_{3} = x_{4})\}$
[/mm]
[mm] =$\{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1} = x_{2}=x_{3} = x_{4})\}$
[/mm]
[mm] =\{t*\vektor{1\\1\\1\\1}| t\in \IR\}
[/mm]
In der letzten Zeile sieht man auch gleich eine Basis des Kerns, deren Angabe i.a. gefordert ist.
Aber etwas anderes ist schlimmer: Deine Lösung stimmt nicht.
Rechne nochmal nach.
LG Angela
>
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Ja, das sieht um einiges besser aus :)
Habe nochmal nachgerechnet, komme jetzt auf :
[mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | -x_{1} = x_{2} und x_{2} = x_{3} und x_{3} = x_{4})\}
[/mm]
[mm] ={(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | -x_{1} = x_{2}=x_{3} = x_{4})\}
[/mm]
[mm] =\{t*\vektor{-1\\1\\1\\1}| t\in \IR\}
[/mm]
Und zwar hab ich ja am Anfang die Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Nach dem Gauß-Alorithmus komme ich dann auf:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
So?
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> Habe nochmal nachgerechnet, komme jetzt auf :
>
>
> [mm]{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | -x_{1} = x_{2} und x_{2} = x_{3} und x_{3} = x_{4})\}[/mm]
>
> [mm]={(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | -x_{1} = x_{2}=x_{3} = x_{4})\}[/mm]
>
> [mm]=\{t*\vektor{-1\\
1\\
1\\
1}| t\in \IR\}[/mm]
Hallo,
ja, das ist jetzt richtig.
>
> Und zwar hab ich ja am Anfang die Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Nach dem Gauß-Alorithmus komme ich dann auf:
>
> [mm]\pmat{ \red{1} & 1 & 0 & 0 \\
0 & \red{1} &-1 & 0 \\
0 & 0 & \red{-1} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> So?
Ja.
Ich mach' Dir mal vor, wie man jetzt weitermachen kann.
Die führenden Elemente der Nichtnulzeilen stehen in Spalte 1, 2 und 3.
Also kann man die 4.Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_4:=t
[/mm]
bekommt man aus der 3.Zeile der Matrix
[mm] x_3=x_4=t,
[/mm]
aus der 2.Zeile
[mm] x_2=x_3=t,
[/mm]
und aus der 1.Zeile
[mm] x_1=-x_2=-t.
[/mm]
Also haben alle Lösungen (bzw. alle Vektoren des Kerns) [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-t\\t\\t\\t}=t*\vektor{-1\\1\\1\\1},
[/mm]
und der Vektor [mm] \vektor{-1\\1\\1\\1} [/mm] ist eine Basis des kerns.
LG Angela
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| Aufgabe | G: [mm] \IR[x]_{n} \mapsto \IR[x]_{n},
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}x [/mm] + ... + [mm] a_{n}x^{n} \to a_{1} [/mm] + [mm] 2a_{1}x [/mm] + ... + [mm] na_{n}x^{n-1}
[/mm]
wobei [mm] \IR[x]_{n} [/mm] := {p [mm] \in \IR[x] [/mm] | deg [mm] \le [/mm] n}. |
Ok, super, vielen Dank :)
Habe jetzt noch eine ähnliche Aufgabe, dabei weiß ich allerdings nicht wie ich vorgehen soll.
Ich habe bis jetzt erkannt das die Funktion auf ihre Ableitung abgebildet wird.
Aber wie bestimme ich davon jetzt den Kern und das Bild?
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> G: [mm]\IR[x]_{n} \mapsto \IR[x]_{n},[/mm]
>
> [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}x[/mm] + ... + [mm]a_{n}x^{n} \to a_{1}[/mm] + [mm]2a_{1}x[/mm] + ... + [mm]na_{n}x^{n-1}[/mm]
>
> wobei [mm]\IR[x]_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {p [mm]\in \IR[x][/mm] | deg [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n}.
> Ich habe bis jetzt erkannt das die Funktion auf ihre
> Ableitung abgebildet wird.
> Aber wie bestimme ich davon jetzt den Kern und das Bild?
Hallo,
zunächst mal ist wichtig, daß Du weißt, wie Kern und Bild definiert sind.
Wie Du Kern und Bild bestimmst, hängt auch davon ab, was Du kannst.
Wenn Ihr die darstellenden Matrizen bereits hattet, kannst Du Bild und Kern der Darstellungsmatrix ermitteln und dann in Polynome "zurückübersetzen".
Ansonsten arbeite mit den Definitionen.
Kern:
Welche Polynome werden denn auf das Nullpolynom abgebildet?
Bild:
Dir sollte klar sein, daß die Bilder einer Basis des Bild aufspannen.
LG Angela
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Wir haben das immer so gemacht, dass wir eine Matrix gegeben hatten und damit dann das Bild und den Kern bestimmt haben.
Allerdings ist mir nicht klar wie die Matrix zu dieser Abbildung aussehen soll..
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Hallo WinterMensch,
> Wir haben das immer so gemacht, dass wir eine Matrix
> gegeben hatten und damit dann das Bild und den Kern
> bestimmt haben.
> Allerdings ist mir nicht klar wie die Matrix zu dieser
> Abbildung aussehen soll..
Na, dann beschaffe dir eine 
Du weißt sicher, dass [mm]\mathcal B=\{1,x,x^2,x^3,\ldots,x^n\}[/mm] eine Basis des [mm]\IR[x]_n[/mm], also von Urbild- und Zielraum ist.
Diese hat [mm]n+1[/mm] Elemente, du wirst also eine [mm](n+1)\times (n+1)[/mm]-Matrix als Abbildungsmatrix herausbekommen.
Wie man die berechnet, weißt du hoffentlich.
Wenn nicht: schnellstens die VL-Mitschrift nacharbeiten
Gruß
schachuzipus
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In diesem konkreten Fall weiß ja gerade leider nicht wie ich die Matrix aufstelle.
Das andere ist mir schon klar.
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Hallo nochmal,
du wirst doch wissen, wie man aus einer gegebenen linearen Abbildung und einer gegebenen Basis die zugeh. Abbildungsmatrix berechnet?!
Anonsten: VL nacharbeiten, das ist ein so zentrales Thema, das musst du im Schlaf können.
Wie war das mit den Bildern der Basisvektoren ... ?!
Gruß
schachuzipus
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Ok, ja, ich habe jetzt diese Abbildungsmatrix:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & . . . & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 & . . . & 0 \\ 0 & 0 & 2a_{2} & 0 & . . . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3a_{3} & . . . & 0 \\ : & : & : & : & . . . & : \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . . & na_{n}}
[/mm]
So ist es richtig oder?
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Hallo nochmal,
> Ok, ja, ich habe jetzt diese Abbildungsmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & . . . & 0 \\
0 & a_{1} & 0 & 0 & . . . & 0 \\
0 & 0 & 2a_{2} & 0 & . . . & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3a_{3} & . . . & 0 \\
: & : & : & : & . . . & : \\
0 & 0 & 0 & 0 & . . . & na_{n}}[/mm]
>
> So ist es richtig oder?
Nein, sehr falsch!
Nehmen wir die (Standard-)Basis [mm]\matcal B=\{1,x,x^2,x^3,\ldots,x^n\}[/mm]
Dann wird der 1.Basisvektor, also 1 abgebildet auf [mm]0=\red{0}\cdot{}1+\red{0}\cdot{}x+\red 0\cdot{}x^2+\red 0\cdot{}x^3+\ldots+\red 0\cdot{}x^n[/mm]
Also ist die 1.Spalte der Abb.matrix
[mm]\vektor{\red 0\\
\red 0\\
\red 0\\
\vdots\\
\red 0}[/mm]
Der 2.Basisvektor, also x, wird abgebildet auf [mm]1=\red 1\cdot{}1+\red 0\cdot{}x+\red 0\cdot{}x^2+\ldots+\red 0\cdot{}x^n[/mm].
Also ist die 2.Spalte der Abb.matrix
[mm]\vektor{1\\
0\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
usw.
3.Spalte ist [mm]\vektor{0\\
2\\
0\\
\vdots\\
0}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ok,gut, hab ich verstanden :)
Und wie gehe ich jetzt am Besten weiter vor?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 17.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schriebst doch
Wir haben das immer so gemacht, dass wir eine Matrix gegeben hatten und damit dann das Bild und den Kern bestimmt haben.
Allerdings ist mir nicht klar wie die Matrix zu dieser Abbildung aussehen soll..
was fehlt dir jetzt noch?
Gruss leduart
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Ja, ich habe ja jetzt die Matrix und die muss ich nun nicht einmal mehr umformen mit dem Gauß-Algorithmus weil sie ja schon in Dreiecksform ist. Aber das Problem sind die Pünktchen, also wie soll denn nun den Kern angeben?
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> Ja, ich habe ja jetzt die Matrix und die muss ich nun nicht
> einmal mehr umformen mit dem Gauß-Algorithmus weil sie ja
> schon in Dreiecksform ist. Aber das Problem sind die
> Pünktchen, also wie soll denn nun den Kern angeben?
Hallo,
wenn man Deine Matrix vielleicht mal sehen dürfte? Oder ist sie irgendwie geheim?
Ansonsten: welche Polnome werden denn aufs Nullpolynom abgebildet?
LG Angela
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0 1 0 0 0 ... 0
0 0 2 0 0 ... 0
0 0 0 3 0 ... 0
..............
0 0 0 0 0 ... n
Das ist meine Matrix..>
> > Ja, ich habe ja jetzt die Matrix und die muss ich nun nicht
> > einmal mehr umformen mit dem Gauß-Algorithmus weil sie ja
> > schon in Dreiecksform ist. Aber das Problem sind die
> > Pünktchen, also wie soll denn nun den Kern angeben?
>
> Hallo,
>
> wenn man Deine Matrix vielleicht mal sehen dürfte? Oder
> ist sie irgendwie geheim?
>
> Ansonsten: welche Polnome werden denn aufs Nullpolynom
> abgebildet?
>
> LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. weisst du doch welcher Vektor beim Differenzieren auf 0 abgebildet wird?
2. sagt es dir was, dass die erste spalte nur 0 enthält?
3. was schaden die Pünktchen? wenn du für n=3,4,5 das Ergebnis weisst, dann doch wohl auch für n.
Gruss leduart
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> 0 1 0 0 0 ... 0
> 0 0 2 0 0 ... 0
> 0 0 0 3 0 ... 0
> ..............
> 0 0 0 0 0 ... n
>
>
> Das ist meine Matrix..>
Hallo,
über diese solltest Du nochmal genauer nachdenken.
Immerhin ist G eine Abbildung aus dem [mm] \IR[x]_{n} [/mm] in den [mm] \IR[x]_{n},
[/mm]
welches Matrizenformat würde man also erwarten, und welches Format hat Deine?
> > > Ja, ich habe ja jetzt die Matrix und die muss ich nun nicht
> > > einmal mehr umformen mit dem Gauß-Algorithmus weil sie ja
> > > schon in Dreiecksform ist. Aber das Problem sind die
> > > Pünktchen, also wie soll denn nun den Kern angeben?
In solchen Fällen versuche ich immer, mich an den eigenen Haaren aus dem Sumpf zu ziehen: lös' die Aufgabe doch einfach mal für ein paar konkrete n, etwa für n=2 bis n=20.
Danach wirst Du wissen, was es mit den Punkten auf sich hat.
> > Ansonsten: welche Polnome werden denn aufs Nullpolynom
> > abgebildet?
Etwas schade ist es, daß Du auf diese Frage überhaupt nicht eingehst.
Ich finde ihre Beantwortung fürs Verständnis der Aufgabe eigentlich viel wertvoller als irgendwelches Matrizengewurschtel.
LG Angela
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