Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Folgendes soll ich zeigen:
A,B,C seien Vektorräume und f sei eine lineare Abbildung von A nach B, g eine lineare Abbildung von B nach C.
Falls g [mm] \circ [/mm] f von A nach C ein Isomorphismus ist, so gilt V = Bild f [mm] \oplus [/mm] Kern g.
Ich weiß also:
g [mm] \circ [/mm] f ist bijektiv und es gilt (g [mm] \circ [/mm] f) (x+y) = (g [mm] \circ [/mm] f)(x) + ( g [mm] \circ [/mm] f)(x)
Da es bijektiv ist wird der Kern von g dann doch auch nur die 0 selbst enthalten oder?
Und das Bild müsste folglich den Rest enthalten.
Stimmt das so? Wenn ja wie zeige ich das?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 19.01.2011 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Folgendes soll ich zeigen:
> A,B,C seien Vektorräume und f sei eine lineare Abbildung
> von A nach B, g eine lineare Abbildung von B nach C.
> Falls g [mm]\circ[/mm] f von A nach C ein Isomorphismus ist, so
> gilt V = Bild f [mm]\oplus[/mm] Kern g.
Ich verstehe das so, daß du zeigen willst, daß die Summe direkt ist.
> Ich weiß also:
>
> g [mm]\circ[/mm] f ist bijektiv und es gilt (g [mm]\circ[/mm] f) (x+y) = (g
> [mm]\circ[/mm] f)(x) + ( g [mm]\circ[/mm] f)(x)
Nee! (g [mm]\circ[/mm] f) (x+y) = (g [mm]\circ[/mm] f) (x) + (g [mm]\circ[/mm] f) (y)
> Da es bijektiv ist wird der Kern von g dann doch auch nur
> die 0 selbst enthalten oder?
>
> Und das Bild müsste folglich den Rest enthalten.
Dieser Argumentation kann ich irgendwie nicht folgen.
x [mm] \in [/mm] ker(g) [mm] \Rightarrow [/mm] g(x) = 0
x [mm] \in [/mm] im(f) [mm] \Rightarrow \exists [/mm] y mit x = f(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(y)) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y = 0 wg. Bij. [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0 da f lin.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 19.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Das wäre doch dann die Antwort, dass der Kern nur die 0 enthält oder?
Wie zeige ich, dass das Bild von f = B/(0) bzw ganz B ist?
Damit B = ker g [mm] \oplus [/mm] bild f
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 19.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wie zeige ich, dass das Bild von f = B/(0) bzw ganz B ist?
> Damit B = ker g [mm]\oplus[/mm] bild f
Zu x [mm] \in [/mm] B betrachte g(x). Es gibt z [mm] \in [/mm] A mit (g [mm] \circ [/mm] f)(z) = g(x), also ist g(x - f(z)) = 0, also ist x - f(z) [mm] \in [/mm] ker(g). Wegen f(z) [mm] \in [/mm] im(f) ist x = (x-f(z)) + f(z) die gesuchte Darstellung.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | hilbert |
Das verstehe ich nicht so ganz.
Also ich nehme ein beliebiges x [mm] \in [/mm] B. Dann gibt es g(x) in C welches gleichzeitig (f [mm] \circ [/mm] g) (z) ist für das passende z [mm] \in [/mm] A.
Und weil (f [mm] \circ [/mm] g) Isomophismus ist, existiert ein solches z [mm] \in [/mm] A auch für alle x [mm] \in [/mm] B richtig?
g(x-f(z)) wäre dann ja g(x) - g(f(z)) = 0. Damit ist x-f(z) [mm] \in [/mm] Ker g.
Was ich noch nicht ganz versatnden habe ist dein letzter Satz.
Klar ist x = (x-f(z)) + f(z) Wieso weiß ich denn jetzt, dass damit Bild f + Ker g = B ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Do 20.01.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> Das verstehe ich nicht so ganz.
>
> Also ich nehme ein beliebiges x [mm]\in[/mm] B. Dann gibt es g(x) in
> C welches gleichzeitig (f [mm]\circ[/mm] g) (z) ist für das
> passende z [mm]\in[/mm] A.
>
> Und weil (f [mm]\circ[/mm] g) Isomophismus ist, existiert ein
> solches z [mm]\in[/mm] A auch für alle x [mm]\in[/mm] B richtig?
>
> g(x-f(z)) wäre dann ja g(x) - g(f(z)) = 0. Damit ist
> x-f(z) [mm]\in[/mm] Ker g.
>
> Was ich noch nicht ganz versatnden habe ist dein letzter
> Satz.
>
> Klar ist x = (x-f(z)) + f(z) Wieso weiß ich denn jetzt,
> dass damit Bild f + Ker g = B ist?
x [mm] \in [/mm] B war beliebig gewählt. Daß f(z) aus im(f) ist, ist hoffentlich klar, und daß x - f(z) aus ker(g) ist, hast du gerade nachgerechnet. Also hast du x dargestellt als Summe eines Elementes aus im(f) und eines Elementes aus ker(g). Damit ist B [mm] \subseteq [/mm] Bild f + Ker g. Andersrum ist es sowieso klar.
Gruß aus HH
Dieter
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