Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 10.02.2005 | | Autor: | joas |
Hallo,
folgende Situation:
eine lin. Abbildung ist gegeben durch f: x [mm] \mapsto [/mm] Ax mit
[mm] \pmat{ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 6 & -4 \\ 3 & 9 & 1 }
[/mm]
Ist der Kern [mm] \pmat{ 3 \\ -1 \\ 0 } [/mm] ?
Was ist das Bild? Einfach nur die Spalten der Matrix jeweils mit x1, x2 und x3 multipliziert?
Danke joas
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Grüße!
Also, der Kern ist alles, was auf 0 abgebildet wird - und das ist IMMER ein Untervektorraum und kann somit niemals ein einzelner Vektor ungleich 0 sein! Möglich wäre, dass es alle reellen Vielfachen dieses Vektors sind.
Um den Kern zu berechnen, muß man einfach das homogene Gleichungssystem $Ax = 0$ lösen. Der vorgegebene Vektor löst das System offensichtlich, also liegt er im Kern - und jedes Vielfache. Aber das beweist noch nicht, dass das alles ist.
Das Bild wiederum ist die Menge [mm] $\{ y \in \IR^3 : \; \exists \; x \in \IR^3 \mbox{ mit } Ax = y \}$. [/mm] Formal kann man das Bild auch betrachten als den Unterraum, der von den Spalten der Matrix erzeugt wird. Insofern stimmt Deine Aussage - es sind Linearkombinationen der Spalten der Matrix und das ist ja nichts anderes, als diese mit drei verschiedenen Variablen zu multiplizieren und alles zu addieren. Allerdings ist z.B. die zweite Spalte linear abhängig von der ersten, also kann man diese theoretisch zusammenfassen - probiere es einfach!
Lars
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