Kern und Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Sa 15.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | Bestimmen von Kern und Bild der linearen Abbildung
F: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} ->\vektor{x +2x\\ x-2y} [/mm] |
Hallo,
ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
Als erstes habe ich die Darstellungsmatrix (heißt die so?) bestimmt.
1. Spalte:
[mm] F(\vektor{1 \\ 0 \\0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] F(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -2}
[/mm]
[mm] F(\vektor{0 \\ 0\\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Darauf folgt die Darstellungsmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
Somit ist das Bild:
{ [mm] \vektor{1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0} [/mm] }
(Gibt es dafür irgendeine bessere Schreibweise?)
Bestimmung des Kerns:
x+2y = 0 <=> x=-2y
x-2y = 0 <=> x=2y
z
Da nur x=-2y und x=2y gelten kann, wenn x=0 ist, ist x=0 und aus 0=-2y und 0=2y folgt, y=0.
Setze t=z.
[mm] \IL [/mm] = { [mm] {\vektor{0 \\ 0 \\t} |t\in \IR} [/mm] }
Somit ist der Kern = { [mm] t\vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] }.
(Wie schreibt man das auf?)
Ich würde mich über eine Korrektur freuen 
Liebe Grüße
Elefanti
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> Bestimmen von Kern und Bild der linearen Abbildung
> F: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} ->\vektor{x +2x\\ x-2y}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
>
> Als erstes habe ich die Darstellungsmatrix (heißt die so?)
> bestimmt.
> 1. Spalte:
> [mm]F(\vektor{1 \\ 0 \\0}) =\vektor{1 \\ 1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Kann ich gar nicht glauben, meiner Meinung nach ist vielmehr:
[mm]F(\vektor{1 \\ 0 \\0})[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 1}[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Wie schachuzipus in https://www.vorhilfe.de/read?i=298654 feststellt, hast Du in der obigen Aufgabenstellung mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit die lineare Funktion $F$ falsch angegeben. Daher kannst Du meine nachfolgenden Nörgeleien zur Detailberechnung des Bildraumes von $F$ ignorieren. Bei der Berechnung des Kerns hast Du dann die (vermutlich) richtige Definition von $F$ verwendet.
> [mm]F(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}) = \vektor{2 \\ -2}[/mm]
Wieder voll daneben. Müsste meiner Meinung nach
[mm]F(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}) = \vektor{0 \\ -2}[/mm]
sein.
> [mm]F(\vektor{0 \\ 0\\ 1}) = \vektor{0 \\ 0}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Darauf folgt die Darstellungsmatrix:
leider nicht, siehe oben.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 }[/mm]
und daher auch Dein Bild. Die Abbildungsmatrix von $F$ müsste
[mm]\pmat{3 & 0 & 0\\1 & -2 & 0}[/mm]
sein. Da die ersten beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Bildraum von $F$ 2-dimensional, also der ganze [mm] $\IR^2$
[/mm]
>
> Somit ist das Bild:
siehe oben.
> [mm]\left\{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{2 \\ -2}, \vektor{0 \\ 0}\right\}[/mm]
> (Gibt es dafür irgendeine bessere Schreibweise?)
Das Bild von $F$ ist ein Teilraum von [mm] $\IR^2$ [/mm] und sollte auch entsprechend geschrieben werden - also nicht etwa als blosse Menge der drei Bilder einer Basis des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Nebenbei bemerkt: hier gilt [mm] $\mathrm{im}(F)=\IR^2$.
[/mm]
> Bestimmung des Kerns:
> x+2y = 0 <=> x=-2y
> x-2y = 0 <=> x=2y
> z
>
> Da nur x=-2y und x=2y gelten kann, wenn x=0 ist, ist x=0
> und aus 0=-2y und 0=2y folgt, y=0.
> Setze t=z.
Scheint mir richtig zu sein.
> [mm]\IL = \left\{\vektor{0 \\ 0 \\t} |t\in \IR \right\}[/mm]
>
> Somit ist der Kern = [mm]\left\{t\vektor{0 \\ 0 \\1} \right\}[/mm].
> (Wie schreibt man das auf?)
[mm] $\mathrm{ker}(F)=\left\{\vektor{0 \\ 0 \\t} |t\in \IR\right\}$?
[/mm]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
offensichtlich - denn darauf deuten deine Rechnungen hin - hast du die Abbildung falsch aufgeschrieben
Es ist vielmehr $F:\vektor{x\\y\\z}\mapsto\vektor{x+2\red{y}\\x-2y}}$
Damit stimmen alle deine Rechnungen
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Sa 15.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Vielen Dank euch zweien!
Wie peinlich, ich kontrolliere dabei immer alles, aber mir ist selbst dabei gar nicht aufgefallen, dass ich die Aufgabe falsch abgeschrieben habe... In der Tat, sollte es x+2y heißen...
Liebe Grüße
Elefanti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 15.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
ich verstehe doch noch nicht ganz, wie man das Bild bestimmt.
Ich habe ja nun
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
Die ersten zwei bzw. auch alle drei Vektoren sind ja linear abhängig, weshalb das Bild nicht [mm] \IR^2 [/mm] sein kann. Doch wie sind dann das Bild aus?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Sa 15.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Also versuche ich das mal:
1 2 0 0
1-2 0 0
=> II-I
1 2 0 0
0-4 0 0
Die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ -4} [/mm] sind linear unabhängig.
Da die zwei Vektoren linear unabhängig sind, ist Im(f) = [mm] \IR^2.
[/mm]
Die Basis muss ich gar nicht angeben...
Liebe Grüße
Elefanti
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Hallo,
> Also versuche ich das mal:
>
> 1 2 0 0
> 1-2 0 0
> => II-I
> 1 2 0 0
> 0-4 0 0 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ohne die letzte Nullspalte, $A$ ist doch nur ne [mm] $2\times [/mm] 3$ -Matrix
>
> Die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{2 \\ -4}[/mm] sind
> linear unabhängig.
>
> Da die zwei Vektoren linear unabhängig sind, ist Im(f) =
> [mm]\IR^2.[/mm]
> Die Basis muss ich gar nicht angeben...
Jo, das ist [mm] \underline{hier} [/mm] das Gute, es ist ja für ne lineare Abbildung $F: [mm] V\to [/mm] W$
[mm] $Bild(F)\subset [/mm] W$, also [mm] $dim(Bild(F))\le [/mm] dim(W)$
Bei Gleichheit ist das Bild dann schon W
>
>
> Liebe Grüße
> Elefanti
dito
schachuzipus
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
